Оглавление
- 1 Метрика Шварцшильда
- 1.1 История и формулировка
- 1.2 Свойства черной дыры Шварцшильда
- 1.3 Формулировка метрики Шварцшильда
- 1.4 Особенности и асимптотика
- 1.5 История и развитие
- 1.6 История открытия сингулярности
- 1.7 Математическая формулировка и прогресс
- 1.8 Сингулярности и черные дыры
- 1.9 Альтернативные координаты
- 1.10 Параболоид Фламма
- 1.11 Орбитальное движение
- 1.12 Экзотические орбиты
- 1.13 Симметрии метрики Шварцшильда
- 1.14 Изгибы метрики
- 1.15 Физический смысл кривизны
- 1.16 Уравнение геодезического отклонения
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Метрика Шварцшильда
Метрика Шварцшильда
-
История и формулировка
- Метрика Шварцшильда была найдена Карлом Шварцшильдом в 1916 году.
- Это точное решение уравнений поля Эйнштейна, описывающее гравитационное поле вне сферической массы.
- Метрика Шварцшильда описывает медленно вращающиеся астрономические объекты, такие как звезды и планеты.
-
Свойства черной дыры Шварцшильда
- Черная дыра Шварцшильда не имеет электрического заряда и углового момента.
- Она описывается метрикой Шварцшильда и имеет горизонт событий на радиусе Шварцшильда.
- Любая масса, размер которой меньше радиуса Шварцшильда, образует черную дыру.
-
Формулировка метрики Шварцшильда
- Метрика Шварцшильда — это сферически симметричная лоренцева метрика.
- Она определена на подмножестве R × (E3 − O) ≅ R × (0, ∞) × S2.
- В координатах Шварцшильда метрика имеет вид ds2 = c2 dτ2 = (1 − rs/r) c2 dt2 − (1 − rs/r)−1 dr2 − r2 dΩ2.
-
Особенности и асимптотика
- Метрика имеет особенность при r = 0 и, возможно, на горизонте событий r = rs.
- Для r ≫ rs метрика асимптотична стандартной метрике Лоренца.
- Радиальная координата имеет физическое значение как расстояние между двумя событиями.
-
История и развитие
- Решение Шварцшильда было первым точным решением уравнений поля Эйнштейна.
- Йоханнес Дросте независимо получил то же решение в 1916 году.
- В 1921 и 1922 годах Пол Пенлеве и Оллвар Гуллстранд создали метрику без сингулярности при r = rs.
-
История открытия сингулярности
- Артур Эддингтон и Жорж Леметр показали, что сингулярность при r = rs является артефактом координат.
- Говард Робертсон и Джон Синдж подтвердили, что сингулярность не является физической.
- Джордж Секереш и Мартин Крускал независимо обнаружили аналогичные результаты.
-
Математическая формулировка и прогресс
- В 1960-х годах математическая формулировка общей теории относительности позволила определить сингулярность как горизонт событий.
- Сингулярность при r = rs стала известна как координатная сингулярность.
-
Сингулярности и черные дыры
- Решение Шварцшильда имеет особенности при r = 0 и r = rs.
- Внешнее решение Шварцшильда связано с гравитационными полями звезд и планет.
- Внутреннее решение Шварцшильда содержит особенность при r = 0 и отделено от внешнего участка.
-
Альтернативные координаты
- Решение Шварцшильда можно выразить в различных координатах, подчеркивающих разные особенности.
- Координаты Крускаля–Секереша позволяют связать внешний и внутренний участки.
-
Параболоид Фламма
- Пространственную кривизну решения Шварцшильда можно визуализировать с помощью параболоида Фламма.
- Параболоид Фламма не является гравитационным колодцем и не может быть пройден обычной частицей.
-
Орбитальное движение
- Частица может иметь стабильную круговую орбиту с r > 3rs.
- Круговые орбиты с r от 1,5rs до 3rs нестабильны, а при r < 1,5rs круговых орбит не существует.
-
Экзотические орбиты
- Между случаем Меркурия и падением за горизонт событий существуют орбиты по острию ножа.
- Спутник может совершать почти круговые обороты, после чего возвращается в исходное положение.
-
Симметрии метрики Шварцшильда
- Группа изометрий метрики Шварцшильда: R × O(3) × {±1}.
- O(3) включает вращения и отражения в трех измерениях.
- R включает переводы времени.
- {±1} включает обращение времени вспять.
- Группа имеет четыре измерения и четыре связанных компонента.
-
Изгибы метрики
- Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи равны нулю.
- Ненулевые компоненты тензора римановой кривизны задаются формулами.
- Компоненты, полученные с помощью симметрий тензора Римана, не отображаются.
-
Физический смысл кривизны
- Полезно выразить тензор кривизны в ортонормированном виде.
- В ортонормированном базисе ненулевые составляющие в геометрических единицах.
- Компоненты не изменяются для нестатичных наблюдателей.
-
Уравнение геодезического отклонения
- Приливное ускорение между наблюдателями: D2ξj^/Dτ2 = −R^jt^k^t^ξk^.
- Тело длиной L растягивается в радиальном направлении с ускорением (rs/r3)c2L.
- Тело сжимается в перпендикулярных направлениях с ускорением -(rs/(2r3))c2L.