Оглавление
Модуль дуализации
-
Определение дуализирующего модуля
- Дуализирующий модуль для нетерова кольца R — это конечно порожденный модуль M, такой, что для любого максимального идеала m векторное пространство R / m ExtnR (R / m, M) обращается в нуль, если n ∈ height(m), и является одномерным, если n = height(m).
- Дуализирующий модуль не обязательно должен быть уникальным, но тензорное произведение любого дуализирующего модуля с проективным модулем ранга 1 также является дуализирующим модулем.
- Если кольцо локально, то модуль дуализации уникален с точностью до изоморфизма.
-
Свойства дуализирующих модулей
- Нетерово кольцо не обязательно имеет дуализирующий модуль.
- Любое кольцо с дуализирующим модулем должно быть Коэна–Маколея.
- Если кольцо Коэна–Маколея является частным от кольца Горенштейна, то оно имеет дуализирующий модуль.
- В частности, любое полное локальное кольцо Коэна–Маколея имеет дуализирующий модуль.
-
Примеры дуализирующих модулей
- Если R — кольцо Горенштейна, то R, рассматриваемое как модуль над самим собой, является дуализирующим модулем.
- Если R — артиновское локальное кольцо, то модуль Матлиса в R (инъективная оболочка поля вычетов) является дуализирующим модулем.
- Артиновское локальное кольцо R = k [x, y] /(x2, y2, xy) имеет уникальный модуль дуализации, но оно не изоморфно R.
- Кольцо Z [√-5] имеет два неизоморфных дуализирующих модуля, соответствующих двум классам обратимых идеалов.
- Локальное кольцо k [x,y]/(y2,xy) не является кольцом Коэна–Маколея, поэтому не имеет дуализирующего модуля.
-
Рекомендации
- Смотрите также дуализирующий пучок.