Оглавление
Модуль (математика)
-
Определение модуля
- Модуль — это обобщение векторного пространства, где поле скаляров заменяется кольцом.
- Модуль является аддитивной абелевой группой с распределительным скалярным умножением.
- Модули тесно связаны с теорией представления групп и используются в коммутативной алгебре и гомологической алгебре.
-
Формальное определение
- Левый R-модуль M состоит из абелевой группы и операции скалярного умножения.
- Правый R-модуль MR определяется аналогично.
- (R, S)-бимодуль — это абелева группа с левым и правым скалярным умножением.
-
Примеры модулей
- K-модули называются K-векторными пространствами.
- Z-модули — это абелевы группы.
- Десятичные дроби образуют модуль над целыми числами.
- Декартово произведение Rn является R-модулем.
- Модули над алгеброй Ли — это модули над её универсальной охватывающей алгеброй.
-
Подмодули и гомоморфизмы
- Подмодуль — это подгруппа, удовлетворяющая модулярному закону.
- Гомоморфизм R-модулей — это отображение, сохраняющее структуру объектов.
-
Изоморфизм модулей
- Биективный гомоморфизм модулей f: M → N называется изоморфизмом.
- Два изоморфных модуля M и N идентичны для всех практических целей.
- Ядро гомоморфизма f: M → N — подмодуль M, состоящий из элементов, преобразуемых в ноль.
- Образ f: M → N — подмодуль N, состоящий из значений f(m) для всех элементов m из M.
-
Категории модулей
- Множество всех левых R-модулей и их гомоморфизмов образует абелеву категорию R-Mod.
- Левый R-модуль — это абелева группа M вместе с представлением R над ней.
- Представление R над M — это кольцевой гомоморфизм R → EndZ(M).
-
Обобщения и приложения
- Кольцо R соответствует предаддитивной категории R с одним объектом.
- Левый R-модуль — это ковариантный аддитивный функтор от R до категории Ab.
- Правые R-модули — это контравариантные аддитивные функторы.
- Модули над коммутативными кольцами обобщаются в пучки OX-модулей.
- Модули над полукольцами являются коммутативными моноидами.
- Матрицы над полукольцом образуют полукольцо, над которым кортежи элементов являются модулем.
- Над ближними кольцами можно рассматривать ближние кольцевые модули.