Оглавление
- 1 Актуальная бесконечность
- 1.1 Актуальная бесконечность в философии математики
- 1.2 История концепции бесконечности
- 1.3 Схоластика и эпоха Возрождения
- 1.4 Современная эпоха
- 1.5 Доказательство Уайлса и аксиома бесконечности
- 1.6 Оппозиция интуитивистов
- 1.7 Потенциальная бесконечность
- 1.8 Фактические бесконечности
- 1.9 Современная теория множеств
- 1.10 Философская проблема
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Настоящая бесконечность
Актуальная бесконечность
-
Актуальная бесконечность в философии математики
- Включает бесконечные сущности как данные, действительные и завершенные объекты
- Введена в математику Георгом Кантором в конце 19 века
- Противопоставляется потенциальной бесконечности
-
История концепции бесконечности
- Древнегреческие философы, такие как Анаксимандр и Платон, обсуждали апейрон и менон
- Аристотель различал актуальную и потенциальную бесконечность
-
Схоластика и эпоха Возрождения
- Схоласты придерживались девиза Infinitum actu non datur
- В эпоху Возрождения и Просвещения голоса в пользу актуальной бесконечности звучали редко
-
Современная эпоха
- Фактическая бесконечность общепринята в математике
- Кантор ввел теорию множеств и различал три сферы бесконечности
- Современная математическая практика основана на теории множеств Цермело-Френкеля
-
Доказательство Уайлса и аксиома бесконечности
- Доказательство Уайлса использовало аксиому бесконечности, подразумевающую существование очень больших множеств.
- Эта аксиома позже была отвергнута, но бесконечные множества остаются фундаментальными.
- Доказательство признано сообществом математиков.
-
Оппозиция интуитивистов
- Интуитивисты отвергают существование бесконечных математических объектов.
- Они реконструируют основы математики без предположения о реальных бесконечностях.
- Конструктивный анализ допускает существование полной бесконечности целых чисел.
-
Потенциальная бесконечность
- Интуиционисты описывают бесконечность как потенциальную, становящуюся или конструктивную.
- Пример: лента машины Тьюринга бесконечна только потенциально.
-
Фактические бесконечности
- Математики, как правило, принимают фактические бесконечности.
- Георг Кантор защищал фактические бесконечности, утверждая, что натуральные и вещественные числа могут быть определенными множествами.
-
Современная теория множеств
- Теория множеств Цермело–Френкеля включает аксиому бесконечности.
- Некоторые философы-финитисты и конструктивисты возражают против этого понятия.
-
Философская проблема
- Философская проблема актуальной бесконечности заключается в ее последовательности и эпистемологической обоснованности.