Оглавление
Непрерывные функции в компактном хаусдорфовом пространстве
-
Пространство непрерывных функций
- Пространство C(X) состоит из непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X.
- Это векторное пространство с поточечным сложением и скалярным умножением на константы.
- Норма определяется как supx∈X|f(x)|.
-
Свойства C(X)
- C(X) разделяет точки X, если x и y различны, то существует f ∈ C(X) с f(x) ≠ f(y).
- C(X) бесконечномерно, если X бесконечно.
- C(X) не является локально компактным, если X бесконечно.
-
Двойственное пространство
- Двойственное пространство C(X) является пространством измерений Радона на X.
- Положительные линейные функционалы на C(X) соответствуют регулярным борелевским мерам на X.
-
Теоремы и свойства
- Теорема Арзелы-Асколи: подмножество K в C(X) относительно компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и равноудалено.
- Теорема Стоуна-Вейерштрасса справедлива для C(X).
- Если A является подкольцом в C(X), содержащим все константы и разделяющим точки, то замыкание A является C(X).
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизмы алгебр C(X) → C(Y) непрерывны и имеют форму F(h)(y) = h(f(y)) для непрерывной функции f: Y → X.
- Если C(X) и C(Y) изоморфны как алгебры, то X и Y гомеоморфны.
-
Пространство максимальных идеалов
- Существует взаимно однозначное соответствие между пространством максимальных идеалов Δ и точками X.
- Δ может быть отождествлен с совокупностью всех сложных гомоморфизмов C(X) → C.
-
Слабая сходимость и топология
- Последовательность в C(X) слабо зависит от Коши тогда и только тогда, когда она ограничена и точечно сходится.
- C(X) слабо завершено для конечного X.
- Неопределенная топология — это слабая* топология на дуальном из C(X).
-
Обобщения и уточнения
- Пространство C(X) может быть определено в любом топологическом пространстве X.
- В некомпактном случае C(X) не является банаховым пространством.
- В локально компактном хаусдорфовом пространстве X можно выделить подмножества C00(X) и C0(X).
- C00(X) состоит из функций с компактной поддержкой, C0(X) — из функций, обращающихся в нуль на бесконечности.