Нервный комплекс

• Определение и свойства нерва

  • Нерв множества — это объединение всех его открытых окрестностей. 
  • Нерв является гомотопически эквивалентным объединению всех его замкнутых окрестностей. 

• Теорема Борсука

  • Если объединение симплициальных комплексов является гомотопически эквивалентным их объединению, то каждый из них гомотопически эквивалентен их нерву. 

• Теорема о нерве Чеха

  • Если все пересечения множеств в покрытии являются сжимаемыми или пустыми, то пространство гомотопически эквивалентно пространству, полученному из их объединения. 

• Теорема о гомологичном нерве

  • Если группы гомологий пересечений множеств в покрытии тривиальны для всех k-скелетов и всех k, то пространство гомотопически эквивалентно пространству, полученному из их объединения.