Нормальная форма Смита

• Нормальная форма Смита — это нормальная форма матрицы, которая может быть определена для любой матрицы с элементами в области главных идеалов. 
• Нормальная форма матрицы Смита диагональна и может быть получена из исходной матрицы путем умножения слева и справа на обратимые квадратные матрицы. 
• Целые числа являются PID, поэтому всегда можно вычислить нормальную форму Смита для целочисленной матрицы. 
• Нормальная форма Смита полезна для работы с конечно сгенерированными модулями над PID и определения структуры частного свободного модуля. 
• Алгоритм для приведения матрицы к нормальной форме Смита включает в себя нахождение обратимых квадратных матриц S и T, чтобы продукт SAT был диагональным. 
• Нормальная форма Смита может быть использована для вычисления гомологии цепного комплекса, определения инвариантных коэффициентов и в теории управления для вычисления передаточных и блокирующих нулей матрицы передаточных функций. 
• Сложность во время выполнения алгоритма для вычисления нормальной формы Смита составляет O(‖A‖log‖A‖N4logN), где N — размер матрицы. 
• Нормальная форма Смита может использоваться для определения того, находятся ли матрицы с записями в общем поле K похожи.