Оглавление
- 1 Обратные тригонометрические функции
- 1.1 История и использование
- 1.2 Обозначения
- 1.3 Основные понятия
- 1.4 Домены и области
- 1.5 Решения элементарных тригонометрических уравнений
- 1.6 Периодичность тригонометрических функций
- 1.7 Обратные тригонометрические функции
- 1.8 Примеры решений
- 1.9 Символ “плюс или минус”
- 1.10 Решение для cosθ = x
- 1.11 Дополнительная информация
- 1.12 Равные тригонометрические функции
- 1.13 Преобразование уравнений
- 1.14 Основные тригонометрические функции
- 1.15 Обратные тригонометрические функции
- 1.16 Взаимосвязи между тригонометрическими и обратными функциями
- 1.17 Производные и интегралы
- 1.18 Ряды и дроби
- 1.19 Неопределенные интегралы
- 1.20 Продолжение на комплексную плоскость
- 1.21 Обобщение обратных тригонометрических функций
- 1.22 Алгебраические выражения
- 1.23 Основные ветви функций
- 1.24 Приложения
- 1.25 Компьютерные науки и инженерия
- 1.26 Численная точность
- 1.27 Полный текст статьи:
- 2 Обратные тригонометрические функции – Arc.Ask3.Ru
Обратные тригонометрические функции
-
История и использование
- Обратные тригонометрические функции используются в инженерном деле, навигации, физике и геометрии.
- Они являются обратными функциями синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секущей и кососекунды.
-
Обозначения
- Наиболее распространенное обозначение — arcsin(x), arccos(x), arctan(x) и т.д.
- В языках программирования часто используются сокращенные формы asin, acos, atan.
- Обозначения sin−1(x), cos−1(x), tan−1(x) также распространены, но могут вызывать путаницу.
-
Основные понятия
- Обратные функции ограничены, чтобы иметь обратные значения.
- Диапазоны результатов обратных функций являются подмножествами областей исходных функций.
- Основные значения обратных функций вычисляются для каждого x в домене.
-
Домены и области
- Домены обратных функций зависят от значений x.
- Для комплексных чисел диапазон y применим только к действительной части.
- Обозначения πZ и R используются для описания областей функций.
-
Решения элементарных тригонометрических уравнений
- Тригонометрические функции периодичны в действительной части аргумента.
- Синус и косеканс начинают период в 2πk−π/2, завершают в 2πk+π/2 и переворачиваются с ног на голову.
- Косинус и секущая начинаются в 2πk, завершают в 2πk+π и переворачиваются с ног на голову.
- Касательная начинает период в 2πk−π и переворачивается с ног на голову.
-
Периодичность тригонометрических функций
- Тригонометрические функции имеют периодичность, отражающуюся в обратных показателях.
- Период начинается с 2πk и заканчивается 2πk+π/2, повторяясь снова и снова.
-
Обратные тригонометрические функции
- Обратные тригонометрические функции используются для решения уравнений, включающих шесть стандартных тригонометрических функций.
- Решения могут быть записаны в развернутом виде, например, θ = π + 2πk.
-
Примеры решений
- Если cosθ = -1, то θ = π + 2πk для некоторых k ∈ Z.
- Если sinθ = ±1, то θ = π/2 + πk для некоторых k ∈ Z.
-
Символ “плюс или минус”
- Символ “плюс или минус” используется для обозначения решений, где одно из двух утверждений истинно.
- Если arccos x = π, то оба утверждения выполняются, но с разными значениями k.
-
Решение для cosθ = x
- Решение для cosθ = x: θ = ±arccos x + 2πk для некоторых k ∈ Z.
- Если arccos x ≠ 0 и 0 < arccos x < π, то одно из двух утверждений истинно, но не оба.
-
Дополнительная информация
- Дополнительная информация может помочь определить, какое из двух утверждений истинно.
- Например, если x = 0, то θ может быть либо π/2, либо -π/2.
-
Равные тригонометрические функции
- Два угла θ и φ связаны, если их значения при заданной тригонометрической функции равны или отрицательны друг от друга.
- Если |sinθ| = |sinφ|, то |cosθ| = |cosφ|.
-
Преобразование уравнений
- Уравнения могут быть преобразованы с помощью тождеств отражения и сдвига.
- Эти формулы включают преобразования для sinθ, cosθ, tanθ и cscθ.
-
Основные тригонометрические функции
- sin(θ) = cos(π/2 – θ)
- cos(θ) = sin(π/2 + θ)
- tan(θ) = cot(π/2 – θ)
-
Обратные тригонометрические функции
- arcsin(x) = π/2 – arccos(x)
- arccos(x) = π/2 – arcsin(x)
- arctan(x) = arccos(1/x)
-
Взаимосвязи между тригонометрическими и обратными функциями
- sin(θ) = cos(θ)
- tan(θ) = sec(θ)
- cot(θ) = csc(θ)
-
Производные и интегралы
- Производные обратных тригонометрических функций могут быть выражены через производные тригонометрических функций
- Интегралы обратных тригонометрических функций могут быть выражены через интегралы тригонометрических функций
-
Ряды и дроби
- Обратные тригонометрические функции могут быть выражены через степенные ряды
- Существуют альтернативные ряды для арктангенса, такие как ряды Эйлера и Гаусса
- Непрерывные дроби для арктангенса также существуют
-
Неопределенные интегралы
- Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций могут быть выражены через логарифмические определения
- Интегралы могут быть упрощены с помощью логарифмических определений
-
Продолжение на комплексную плоскость
- Обратные тригонометрические функции могут быть перенесены на комплексную плоскость
- Функции могут иметь несколько листов и точки ветвления
- Логарифмические формы функций также могут быть выражены через сложные логарифмы
-
Обобщение обратных тригонометрических функций
- Обратные тригонометрические функции могут быть обобщены с помощью формулы Эйлера для комплексной плоскости.
- Формула Эйлера позволяет найти угол треугольника в комплексной плоскости через длины сторон.
-
Алгебраические выражения
- Угол треугольника в комплексной плоскости можно найти через длины сторон.
- Для каждой обратной тригонометрической функции есть эквивалентное выражение для угла.
-
Основные ветви функций
- Основные ветви функций могут быть определены через Im(ln z) и Re(z).
- Арккотангенс требует особого соглашения для Im(ln z) и Im(z).
-
Приложения
- Обратные тригонометрические функции полезны для нахождения углов прямоугольного треугольника.
- Арктангенс полезен для вычисления углов без знания длины гипотенузы.
-
Компьютерные науки и инженерия
- Функция atan2 вычисляет арктангенс в диапазоне (−π, π].
- Функция arctan2 может быть выражена через формулы полуугла касательной.
-
Численная точность
- Арккосинус и арксинус плохо обусловлены для углов, близких к 0 и π.
- Компьютерные приложения должны учитывать стабильность входных данных и чувствительность вычислений.