Оглавление
- 1 Обратный многочлен
- 1.1 Определение обратного многочлена
- 1.2 Свойства обратных многочленов
- 1.3 Палиндромные и антипалиндромные многочлены
- 1.4 Примеры палиндромных и антипалиндромных многочленов
- 1.5 Свойства палиндромных и антипалиндромных многочленов
- 1.6 Реальные коэффициенты и сопряженные обратные многочлены
- 1.7 Применение в теории кодирования
- 1.8 Полный текст статьи:
- 2 Обратный полином
Обратный многочлен
-
Определение обратного многочлена
- Обратный многочлен p∗ определяется как многочлен с коэффициентами, обратными коэффициентам p.
- В линейной алгебре обратный многочлен возникает как характеристический многочлен обратной матрицы.
- В комплексных числах сопряженный обратный многочлен p† определяется как p∗, где a¯i обозначает комплексное сопряжение ai.
-
Свойства обратных многочленов
- p(x) = xnp∗(x−1).
- α является корнем p тогда и только тогда, когда α−1 является корнем p∗.
- p неприводимо тогда и только тогда, когда p∗ неприводимо.
- p примитивно тогда и только тогда, когда p∗ примитивно.
-
Палиндромные и антипалиндромные многочлены
- Самовозвратный многочлен называется палиндромным, если его коэффициенты образуют палиндром.
- Антипалиндромный многочлен называется антипалиндромным, если его коэффициенты образуют антипалиндром.
-
Примеры палиндромных и антипалиндромных многочленов
- Многочлены P(x) = (x + 1)n и Q(x) = (x – 1)n являются палиндромными и антипалиндромными соответственно.
- Циклотомические многочлены и многочлены Эйлера также являются палиндромными.
-
Свойства палиндромных и антипалиндромных многочленов
- Если a является корнем палиндромного или антипалиндромного многочлена, то 1/a также является корнем.
- Любой многочлен q может быть записан как сумма палиндромного и антипалиндромного многочленов.
- Произведение двух палиндромных или антипалиндромных многочленов является палиндромным.
-
Реальные коэффициенты и сопряженные обратные многочлены
- Многочлен с действительными коэффициентами, корни которого лежат на единичной окружности, является палиндромным или антипалиндромным.
- Многочлен является сопряженным обратным, если p(x) ≡ p†(x), и самоинверсивным, если p(x) = ωp†(x) для ω на единичной окружности.
-
Применение в теории кодирования
- Обратный многочлен используется в теории циклических кодов с исправлением ошибок.
- Если xn − 1 = g(x)p(x), то p∗ генерирует ортогональное дополнение C.
- C является самоортогональным тогда и только тогда, когда p∗ делит g(x).