Оглавление
- 1 Ограниченная вариация
- 1.1 Определение функций ограниченной вариации
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Формальное определение
- 1.4 Функции нескольких переменных
- 1.5 Локально функционирующие BV
- 1.6 Определение и обозначения
- 1.7 Основные свойства функций BV
- 1.8 Цепное правило для локальных функций BV
- 1.9 Определение функций BV
- 1.10 Обобщения и расширения
- 1.11 Последовательности BV
- 1.12 Меры ограниченной вариации
- 1.13 Примеры функций BV
- 1.14 Приложения
- 1.15 Дополнительные ресурсы
- 1.16 Справочник по теории функций BV
- 1.17 Монографии по теории мер Юнга
- 1.18 Монографии по теории пространств Соболева
- 1.19 Статьи по взвешенным функциям BV
- 1.20 Статьи по множествам Каччиопполи и функциям BV
- 1.21 Исторические справки
- 1.22 Статьи о функциях ограниченной вариации
- 1.23 Применение функций BV
- 1.24 Обзоры и библиографии
- 1.25 Статьи о нелинейных дифференциальных уравнениях
- 1.26 Обработка и анализ изображений
- 1.27 Внешние ссылки
- 1.28 Полный текст статьи:
- 2 Ограниченная вариация
Ограниченная вариация
-
Определение функций ограниченной вариации
- Функции ограниченной вариации (BV) имеют конечное общее изменение.
- Для функций одной переменной это означает, что расстояние вдоль оси y ограничено.
- Для функций нескольких переменных это означает, что производная по распределению является конечной мерой Радона.
-
История и развитие
- Функции BV были введены Камилем Джорданом в 1881 году.
- Леонида Тонелли обобщила концепцию на функции нескольких переменных в 1926 году.
- Ламберто Чезари изменил определение на интегрируемость в 1936 году.
- Функции BV использовались в различных областях, включая вариационное исчисление и математическую физику.
-
Формальное определение
- Общее изменение функции f на интервале [a, b] равно сумме вертикальных составляющих длины дуги графика.
- Функция f имеет ограниченное изменение, если её общее изменение конечно.
- BV-функции могут быть записаны как разность двух неубывающих функций.
-
Функции нескольких переменных
- BV-функции определяются как функции, производная распределения которых является конечной мерой Радона.
- Общее изменение BV-функции в Ω определяется как интеграл от абсолютного значения градиента.
- Пространство BV-функций может быть определено как пространство непрерывных линейных функционалов.
-
Локально функционирующие BV
- Локально интегрируемые функции могут быть определены как функции, принадлежащие Lloc1(Ω).
- Локальная вариация определяется как интеграл от абсолютного значения градиента на предварительно сжатых открытых подмножествах Ω.
-
Определение и обозначения
- Существуют два соглашения для обозначения пространств функций локально или глобально ограниченной вариации.
- Первое соглашение используется в статье и включает обозначения bv(Ω) и bvloc(Ω).
- Второе соглашение используется в литературе Вольперта и Мазьи и включает обозначения b¯(Ω) и b(Ω).
-
Основные свойства функций BV
- Функции BV имеют только скачкообразные или устраняемые разрывы.
- V(θ, Ω) является нижней полунепрерывной на L1(Ω).
- BV(Ω) является банаховым пространством.
- BV(Ω) неотделимо.
-
Цепное правило для локальных функций BV
- Цепное правило для функций BV доказано в статье Вольперта.
- Формула цепного правила включает среднее значение функции в точке.
- Более общая формула цепного правила для непрерывных функций Липшица найдена Амбросио и Даль Мазо.
-
Определение функций BV
- Функции BV локально интегрируемы по мере ∂v(x)/∂xi для каждого i.
- Функции BV удовлетворяют правилу Лейбница.
-
Обобщения и расширения
- Взвешенные функции BV: обобщение с использованием функции веса φ.
- Функции SBV: специальные функции ограниченной вариации, введенные Амбросио и Де Джорджи.
-
Последовательности BV
- Пространство последовательностей BV изоморфно ℓ1.
- Норма на BV0 также изоморфна ℓ1.
-
Меры ограниченной вариации
- Знаковая мера μ имеет ограниченную вариацию, если её общая вариация ограничена.
-
Примеры функций BV
- Монотонные функции и абсолютно непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
- Монотонная функция Кантора не является абсолютно непрерывной, но имеет ограниченную вариацию.
-
Приложения
- Функции ограниченной вариации используются в математике, физике и инженерии.
- Примеры приложений включают задачи механики, физики и химической кинетики.
-
Дополнительные ресурсы
- Ссылки на книги и статьи по теории BV-функций и их приложениям.
-
Справочник по теории функций BV
- Включает классические и продвинутые результаты
- Глава 6 “Ограниченная вариация” с упражнениями
- Автор Ламберто Чезари
-
Монографии по теории мер Юнга
- Ориентирована на приложения в механике сплошных сред
- Глава 6 “О функциях в пространстве BV(Ω)”
-
Монографии по теории пространств Соболева
- Одна из лучших монографий
-
Статьи по взвешенным функциям BV
- Мусилак и Орлич развили концепцию взвешенных функций BV
-
Статьи по множествам Каччиопполи и функциям BV
- Основополагающая статья, изучающая множества Каччиопполи и функции BV
- Введена функциональная суперпозиция и применена к теории дифференциальных уравнений
-
Исторические справки
- Доказана компактность пространства функций SBV
- Статья с формулой цепного правила для функций BV
- Первая статья о функциях SBV и вариационных задачах
-
Статьи о функциях ограниченной вариации
- Чезари расширил концепцию плоской вариации Тонелли
- Статья о творчестве Леонида Тонелли и его влиянии на научное мышление
-
Применение функций BV
- Глобальная теорема существования для гиперболических уравнений
- Обзорная статья по вариационным задачам со свободным разрывом
-
Обзоры и библиографии
- Обзор множества определений “полной вариации”
- Вторая часть обзора множества определений “полной вариации”
-
Статьи о нелинейных дифференциальных уравнениях
- Обобщенные решения нелинейных уравнений в виде BV-функций
- Слабое решение в BV для нелинейного уравнения с использованием метода нулевой вязкости
-
Обработка и анализ изображений
- Применение ограниченных вариаций в современной обработке изображений
-
Внешние ссылки
- Теория функций ограниченной вариации в Математической энциклопедии
- Домашняя страница Луиджи Амбросио
- Исследовательская группа по вариационному анализу и теории геометрических мер Высшей нормальной школы Пизы