Оглавление
- 1 Открытые и закрытые карты
- 1.1 Определение открытых и закрытых карт
- 1.2 Эквивалентные определения
- 1.3 Свойства открытых карт
- 1.4 Свойства закрытых карт
- 1.5 Примеры
- 1.6 Определение открытых и закрытых карт
- 1.7 Свойства открытых и закрытых карт
- 1.8 Леммы и теоремы
- 1.9 Почти открытые карты
- 1.10 Свойства непрерывных открытых карт
- 1.11 Сходимость и сюръективность
- 1.12 Индексация и соседство
- 1.13 Дополнительные понятия
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Открытые и закрытые карты – Википедия
Открытые и закрытые карты
-
Определение открытых и закрытых карт
- Открытое отображение: функция, отображающая открытые множества в открытые множества.
- Замкнутое отображение: функция, отображающая замкнутые множества в замкнутые множества.
- Карта может быть открытой, закрытой, или ни одной из них.
-
Эквивалентные определения
- Сильно открытая карта: каждое открытое подмножество домена отображается в открытое подмножество кодового домена.
- Относительно открытая карта: каждое открытое подмножество домена отображается в открытое подмножество образа.
- Сюръективное отображение: сильно открытое тогда и только тогда, когда относительно открытое.
-
Свойства открытых карт
- Сопоставляет открытые подмножества с открытыми подмножествами.
- Для каждого x ∈ X и каждого открытого района N от x, f(N) является соседством f(x).
- Для каждого x ∈ X и каждого открытого района N от x, f(N) является открытым районом f(x).
- f(IntX A) ⊆ IntY(f(A)) для всех подмножеств A от X.
- Если B является основой для X, f сопоставляет базовые открытые множества с открытыми множествами в Y.
-
Свойства закрытых карт
- Сопоставляет замкнутые подмножества с замкнутыми подмножествами.
- Для каждого замкнутого подмножества C от X, f(C) является замкнутым подмножеством Y.
- f(A)¯ ⊆ f(A¯) для каждого подмножества A от X.
- f(C)¯ ⊆ f(C) для каждого замкнутого подмножества C от X.
- f(C)¯ = f(C) для каждого замкнутого подмножества C от X.
- Для каждого открытого подмножества U от X, {y ∈ Y: f−1(y) ⊆ U} является открытым подмножеством Y.
-
Примеры
- Функция f: R → R, f(x) = x2, является непрерывной, замкнутой и относительно открытой, но не (сильно) открытой.
-
Определение открытых и закрытых карт
- Функция f: R → R является относительно открытой, но не сильно открытой.
- Функция floor из R в Z является открытой и закрытой, но не непрерывной.
- Проекции пучков волокон и карты покрытия являются открытыми картами.
-
Свойства открытых и закрытых карт
- Гомеоморфизмы являются открытыми, замкнутыми и непрерывными.
- Композиция двух открытых карт является открытой, а композиция двух закрытых карт — закрытой.
- Ограничение открытой карты на подмножество Y является открытым.
-
Леммы и теоремы
- Лемма о замкнутом отображении: непрерывная функция из компактного пространства в хаусдорфово пространство является замкнутой и правильной.
- Теорема об открытом отображении: каждая непостоянная голоморфная функция на связном открытом подмножестве комплексной плоскости является открытой.
- Теорема об инвариантности области: непрерывная и локально инъективная функция между n-мерными топологическими многообразиями должна быть открытой.
-
Почти открытые карты
- Сюръективная карта f: X → Y называется почти открытой, если для каждого y ∈ Y существует x ∈ f-1(y) такой, что x является точкой открытости для f.
- Почти открытая карта является открытой, если удовлетворяет условию, не зависящему от топологии Y.
-
Свойства непрерывных открытых карт
- Непрерывная открытая карта f: X → Y является наследственным фактором, если ограничение f|f-1(T) является частным отображением для каждого подмножества T ⊆ Y.
- Непрерывная открытая карта f: X → Y является инъекцией, если f-1(S) является обычным открытым множеством для каждого S ⊆ Y.
- Непрерывная открытая карта f: X → Y является биекцией, если f-1(S) является обычным замкнутым множеством для каждого S ⊆ Y.
-
Сходимость и сюръективность
- Сеть y_∙ сходится в Y в некоторой степени y ∈ Y
- Непрерывная открытая карта f: X → Y сюръективна
- Для любого x ∈ f−1(y) существует сеть x_∙ в X, такая что x_∙ → x в X и f(x_∙) является подсетью y_∙
-
Индексация и соседство
- Набор индексаций A может быть воспринято как A := I × Nx с заказом продукта
- Nx является соседством для x
-
Дополнительные понятия
- Почти открытая карта удовлетворяет условию, аналогичному условию быть открытой картой
- Закрытый график отображает краткое описание целей перенаправления
- Замкнутый линейный оператор
- Локальный гомеоморфизм обратим вблизи каждой точки
- Квазиоткрытая карта сопоставляет непустые открытые множества с множествами с непустой внутренней областью
- Карта факторов отображает краткие описания целей перенаправления
- Идеальная карта непрерывна, замкнута, сюръективна и каждый слой компактен
- Правильная карта между топологическими пространствами, прообраз каждого компакта компактен
- Карта покрытия последовательности