P-адическое число
-
Определение p-адических чисел
- p-адические числа образуют расширение рациональных чисел.
- Они могут быть записаны в форме, аналогичной десятичной дроби, но с цифрами, основанными на простое число p.
- p-адическое число можно определить как ряд, где k — целое число, а каждое a_i является целым числом, таким, что 0 ≤ a_i < p.
-
Основные свойства p-адических чисел
- p-адическое целое число — это p-адическое число с k ≥ 0.
- Ряд, представляющий p-адическое число, не сходится в обычном смысле, но сходится для p-адического абсолютного значения.
- Каждое рациональное число может быть выражено как сумма ряда относительно p-адического абсолютного значения.
-
История и мотивация
- p-адические числа были впервые описаны Куртом Хенселем в 1897 году.
- Модульная арифметика по модулю p позволяет аппроксимировать целые числа остатками от деления на p.
- Хенсель использовал лемму Хенселя для итеративного восстановления результата по модулю p^2, p^3, …, p^n.
-
Основные леммы
- Каждое ненулевое рациональное число может быть записано как p^v{m/n}, где v, m и n — целые числа, и ни m, ни n не делятся на p.
- Каждое ненулевое рациональное число оценки v может быть записано как r = ap^v + s, где s — рациональное число, большее, чем v, а a — целое число, такое, что 0 < a < p.
-
p-адические ряды
- P-адический ряд — это формальный степенной ряд вида ∑i=v∞r_i p^i, где v — целое число, а r_i — рациональные числа, либо равные нулю, либо имеющие неотрицательное значение.
- Два p-адических ряда эквивалентны, если существует целое число N такое, что для каждого n > N, рациональное число равно нулю или имеет p-адическую оценку, большую, чем n.
- P-адический ряд нормализуется, если все a_i являются целыми числами, такими, что 0 ≤ a_i < p, и a_v > 0, или все a_i равны нулю.
-
Основные операции и свойства
- Сложение, умножение и мультипликативная инверсия p-адических чисел определяются как для формальных степенных рядов с последующей нормализацией результата.
- P-адические числа образуют поле, которое является расширением поля рациональных чисел.
- Оценка ненулевого p-адического числа x равна показателю степени p в первом ненулевом члене соответствующего нормализованного ряда; значение нуля равно +∞.
- p-адическое абсолютное значение ненулевого p-адического числа x равно p^{-v(x)}; для нулевого p-адического числа имеем |0|_{p}=0.
-
Нормализация p-адического ряда
- Начиная с серии ∑i=v∞r_i p^i, первая лемма позволяет получить эквивалентный ряд таким образом, что p-адическая оценка r_v равна нулю.
- Если p-адическая оценка r_i равна нулю, достаточно заменить v на i.
- В противном случае p-адическая оценка r_i является j > 0, и r_i = p^j s_i, где оценка стоимости s_i равна нулю.
- Повторяя этот процесс, можно получить эквивалентный ряд, который либо является нулевым рядом, либо представляет собой такой ряд, что оценка r_v равна нулю.
- Затем, если ряд не нормализован, можно записать r_i = a_i + p s_i; можно получить n эквивалентных рядов, заменив r_i с a_i и добавляя s_i к r_i+1.
- Повторяя этот процесс, можно в конечном итоге получить желаемый нормализованный p-адический ряд.
-
Определение p-адических чисел
- p-адические числа определяются как нормализованные p-адические ряды.
- Любой p-адический ряд эквивалентен уникальному нормализованному p-адическому ряду.
- Операции с p-адическими числами определяются через нормализацию.
-
Поле p-адических чисел
- Поле p-адических чисел обозначается Qp.
- Существует гомоморфизм полей от рациональных чисел к p-адическим числам.
- p-адические числа образуют поле расширения рациональных чисел.
-
Оценка p-адических чисел
- Оценка ненулевого p-адического числа x равна показателю степени p в первом ненулевом члене его p-адического ряда.
- Нулевая оценка равна ∞.
- Оценка является дискретной.
-
p-адические целые числа
- p-адические целые числа — это p-адические числа с неотрицательным значением.
- p-адические целые числа образуют коммутативное кольцо Zp.
- Zp является интегральной областью, основной областью идеалов и локальным кольцом размерности Крулля один.
-
Топологические свойства p-адических чисел
- p-адическая оценка позволяет определить абсолютное значение для p-адических чисел.
- p-адические числа образуют метрическое пространство с p-адическим расстоянием.
- p-адические числа образуют локально компактное пространство.
-
p-адическое разложение рациональных чисел
- p-адическое разложение рационального числа аналогично десятичному разложению.
- p-адическое разложение определяется через p-адическую оценку и p-адическое абсолютное значение.
- Процесс разложения основан на тождестве Безу и евклидовом делении.
-
p-адическое разложение рационального числа
- p-адическое разложение рационального числа — это ряд, сходящийся к рациональному числу при применении p-адического абсолютного значения.
- В стандартной p-адической системе счисления цифры записываются в обратном порядке.
- p-адическое разложение является периодическим.
-
Пример вычисления p-адического разложения
- Пример вычисления 5-адического разложения 1/3.
- Тождество Безу используется для расширения числа.
- Евклидово деление применяется для получения коэффициентов.
-
Позиционная система счисления
- Позиционная система счисления аналогична системе счисления в базе p.
- Нормализованный p-адический ряд записывается в порядке убывания значения i.
- При k < 0 перед цифрами с отрицательным индексом ставится разделительная точка.
-
Модульные свойства
- Частное кольцо Zp/pnZp может быть отождествлено с кольцом Z/pnZ.
- Обратный предел колец Zp/pnZp определяется как кольцо, образованное последовательностями частичных сумм.
- Отображение, сопоставляющее нормализованный p-адический ряд с последовательностью частичных сумм, является кольцевым изоморфизмом.
-
Обозначение и мощность
- Существует несколько соглашений для записи p-адических разложений.
- Оба Zp и Qp неисчислимы и имеют мощность континуума.
- Алгебраическое замыкание Qp содержит Q и является полем с характеристикой 0.
- Qp имеет бесконечно много неэквивалентных алгебраических расширений.
- Cp или Ωp является (метрически) завершенным расширением Qp.
-
Алгебраическая замкнутость и локальная компактность
- Поле Cp алгебраически замкнуто, но не локально компактно.
- Cp и C изоморфны как кольца, что позволяет рассматривать Cp как C с экзотической метрикой.
-
Разрешимость группы Галуа
- Группа Галуа Gal(K/Qp) разрешима для любого конечного расширения K из Qp.
- Группа Галуа Gal({overline{Qp}}/Qp) вполне разрешима.
-
Мультипликативная группа Qp
- Мультипликативная группа Qp содержит n-е циклотомическое поле тогда и только тогда, когда n | p − 1.
- В Qp отсутствует мультипликативное p-кручение, если p > 2.
- В Q2 -1 является единственным нетривиальным элементом кручения.
-
Локально-глобальный принцип
- Локально-глобальный принцип Гельмута Хассе справедлив для уравнений, решаемых с помощью рациональных, действительных и p-адических чисел.
- Принцип не работает для высших многочленов в некоторых случаях.
-
Рациональная арифметика с подъемом по Хензелю
- Вещественные и p-адические числа являются дополнениями рациональных чисел.
- Можно заполнить и другие поля, такие как поля общих алгебраических чисел.
-
p-адические целые числа и соленоиды
- p-адические целые числа могут быть расширены до p-адических соленоидов Tp.
- Существует карта из Tp к группе окружностей, слоями которой являются p-адические целые числа Zp.