Оглавление
- 1 Плотность на многообразии
- 1.1 Определение плотности
- 1.2 Элементы расслоения плотности
- 1.3 Обобщение плотностей
- 1.4 Мотивация в векторных пространствах
- 1.5 Ориентации в векторном пространстве
- 1.6 s-плотности в векторном пространстве
- 1.7 Определение s-плотностей на дифференцируемом многообразии
- 1.8 Интеграция плотностей
- 1.9 Конвенции и свойства
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Плотность на многообразии
Плотность на многообразии
-
Определение плотности
- Плотность — это пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемом многообразии.
- Плотность может быть интегрирована естественным образом.
- Плотность — это участок линейного пучка, называемого пучком плотности.
-
Элементы расслоения плотности
- Элемент расслоения плотности в точке x — это функция, присваивающая объем параллелотопу.
- Плотность умножается на абсолютное значение определителя Якобиана при изменении координат.
-
Обобщение плотностей
- s-плотности умножаются на s-ю степень абсолютного значения определителя Якобиана.
- На ориентированном многообразии 1-плотности отождествляются с n-формами.
- На неориентируемых многообразиях расслоение плотности является тензорным произведением расслоения ориентации и n-го внешнего расслоения.
-
Мотивация в векторных пространствах
- В векторном пространстве нет естественного понятия объема для параллелотопа.
- Функция μ : V × … × V → R, присваивающая объем, должна удовлетворять определенным условиям.
- Множество Vol(V) всех плотностей образует одномерное векторное пространство.
-
Ориентации в векторном пространстве
- Множество Or(V) всех функций o : V × … × V → R образует одномерное векторное пространство.
- Ориентация на V — это один из двух элементов o ∈ Or(V), таких что |o(v1, …, vn)| = 1.
- Любая ненулевая n-форма ω определяет ориентацию o.
-
s-плотности в векторном пространстве
- s-плотности образуют одномерное векторное пространство Vols(V).
- Произведение s1- и s2-плотностей образует (s1+s2)-плотность.
-
Определение s-плотностей на дифференцируемом многообразии
- Объем расслоения s-плотности получается с помощью конструкции расслоения.
- 1-плотность также называется просто плотностью.
- Конструкция расслоения позволяет строить плотности из любого векторного расслоения.
-
Интеграция плотностей
- Плотности играют важную роль в теории интегрирования.
- Интеграл от 1-плотности определяется с помощью разбиения аргумента на единицы.
- 1/p-плотности образуют нормированное линейное пространство Lp(M).
-
Конвенции и свойства
- В конформной геометрии используется другое соглашение о взвешивании.
- Двойственное векторное расслоение из |Λ|M^s является |Λ|M^-s.
- Тензорные плотности — это сечения тензорного произведения расслоения плотности на тензорное расслоение.