Почти сложное многообразие
-
Определение почти сложных многообразий
- Почти сложное многообразие — это гладкое многообразие с гладкой линейной сложной структурой в каждом касательном пространстве.
- Каждое сложное многообразие является почти сложным, но не наоборот.
- Почти сложные структуры важны в симплектической геометрии.
-
Формальное определение
- Почти сложная структура J на M — это линейная сложная структура, равная -1 в каждом касательном пространстве.
- J2 = -1, если рассматривать его как изоморфизм векторного расслоения.
- M должно быть четномерным и ориентируемым для существования почти сложной структуры.
-
Примеры
- Плоское пространство R2n допускает почти сложную структуру.
- Единственные сферы, допускающие почти сложные структуры, — S2 и S6.
- S4 не допускает почти сложную структуру.
-
Дифференциальная топология
- Почти сложная структура вызывает разложение усложненного касательного расслоения на TM+ и TM-.
- J соответствует умножению на i в (1, 0)-векторных полях и умножению на -i в (0, 1)-векторных полях.
- Внешняя производная d может быть записана через операторы Долбо.
-
Интегрируемые почти сложные структуры
- Каждое сложное многообразие само по себе является почти сложным.
- Локальные голоморфные координаты для J могут быть найдены, если J интегрируемо.
- Интегрируемая почти сложная структура индуцирует уникальную сложную структуру.
-
Совместимые тройки
- M с симплектической формой ω, римановой метрикой g и почти сложной структурой J образует совместимую тройку.
- g, ω и J совместимы, если каждая структура может быть задана двумя другими.
- Совместимая почти сложная структура J является почти келеровой структурой для ω.
-
Обобщенная почти сложная структура
- Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти сложной структуры.
-
Почти сложная структура
- Выбор полуразмерного подпространства каждого слоя усложненного касательного расслоения TM
- Прямая сумма подобъединения и его комплексного сопряжения должна давать исходное расслоение
-
Обобщенная почти сложная структура
- Выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированных касательного и кокасательного расслоений
-
Интеграция в сложную структуру
- Почти сложная структура интегрируется в сложную структуру, если полумерное подпространство замкнуто скобкой Ли
- Обобщенная почти сложная структура интегрируется в обобщенную сложную структуру, если подпространство замкнуто скобкой Куранта
-
Обобщенное многообразие Калаби–Яу
- Если полумерное пространство является аннигилятором нигде не исчезающего чистого спинора, то M — обобщенное многообразие Калаби–Яу
-
Связанные концепции
- Почти кватернионное многообразие: концепция в geometryPages, отображающая краткие описания целей перенаправления
- Класс Черна: характеристические классы векторных расслоений
- Кронштейн Фрелихера–Нийенхейса
- Многообразие Келера: многообразие с римановой, сложной и симплектической структурой
- Пуассоново многообразие: математическая структура в дифференциальной геометрии
- Коллектор Rizza: почти сложный коллектор, оснащенный совместимыми страницами структуры Finsler
- Симплектическое многообразие: тип многообразия в дифференциальной геометрии