Оглавление
- 1 Поле алгебраических чисел
- 1.1 Определение алгебраического числового поля
- 1.2 Примеры алгебраических числовых полей
- 1.3 Не являющиеся примерами алгебраических числовых полей
- 1.4 Алгебраичность и кольцо целых чисел
- 1.5 Уникальная факторизация
- 1.6 Уникальная факторизация и номер класса
- 1.7 Дзета-функция Дедекинда и L-функции
- 1.8 Базы для числовых полей
- 1.9 Трассировка и норма
- 1.10 Интегральная форма трассировки
- 1.11 Алгебраические целые числа
- 1.12 Пример с интегральной основой
- 1.13 Места в числовом поле
- 1.14 Завершение K по отношению к месту
- 1.15 Примеры
- 1.16 Архимедовы места
- 1.17 Неархимедовы или ультраметрические пространства
- 1.18 Нормальные члены и абсолютные значения
- 1.19 Простые идеалы и ультраметрические места
- 1.20 Локализация и эквивалентности
- 1.21 Лежащий над теоремой и места
- 1.22 Ветвление и индексы ветвления
- 1.23 Пример вычисления индекса ветвления
- 1.24 Дискриминантная теорема Дедекинда
- 1.25 Группы Галуа и когомологии Галуа
- 1.26 Фундаментальная теорема теории Галуа
- 1.27 Модули Галуа и когомологии
- 1.28 Локально-глобальный принцип
- 1.29 Адели и иделес
- 1.30 Полный текст статьи:
- 2 Поле алгебраических чисел
Поле алгебраических чисел
-
Определение алгебраического числового поля
- Алгебраическое числовое поле (или числовое поле) — это поле конечной степени, расширяющее поле рациональных чисел.
- Степень поля означает размерность поля как векторного пространства над Q.
-
Примеры алгебраических числовых полей
- Поле рациональных чисел Q является самым простым числовым полем.
- Гауссовы рациональные числа Q(i) — первый нетривиальный пример числового поля.
- Квадратичное поле Q(d) получается присоединением квадратного корня из d к Q.
- Циклотомическое поле Q(ζn) получается присоединением примитивного n-го корня из единицы к Q.
-
Не являющиеся примерами алгебраических числовых полей
- Реальные числа R и комплексные числа C не являются числовыми полями из-за бесконечной размерности.
- Набор Q2 из упорядоченных пар рациональных чисел не является числовым полем из-за наличия нулевых делителей.
-
Алгебраичность и кольцо целых чисел
- Расширение поля K/L является алгебраическим, если каждый элемент f из K является нулем многочлена с коэффициентами в L.
- Алгебраические числа в K могут быть записаны как нули многочленов с рациональными коэффициентами.
- Алгебраические целые числа образуют кольцо OK, которое является интегральной областью и нетеровым кольцом.
-
Уникальная факторизация
- Кольца алгебраических целых чисел обладают уникальной факторизацией идеалов в произведение простых идеалов.
- В отличие от Z, кольцо целых чисел правильного расширения Q может не допускать однозначную факторизацию.
-
Уникальная факторизация и номер класса
- Евклидовы области обладают уникальной факторизацией.
- Номер класса кольца целых чисел связан с его структурой.
- Номер класса можно вычислить через дзета-функцию Дедекинда.
-
Дзета-функция Дедекинда и L-функции
- Дзета-функция Дедекинда обобщает дзета-функцию Римана.
- L-функции Дирихле кодируют арифметическое поведение числовых полей.
- Современная теория чисел использует L-функции для описания значений более общих L-функций.
-
Базы для числовых полей
- Интегральная основа представляет собой набор алгебраических целых чисел.
- Энергетическая основа является степенным интегральным базисом.
- Регулярное представление элементов числовых полей через матрицы.
-
Трассировка и норма
- Трассировка и норма элементов числовых полей определяются через матрицы.
- Трассировка является линейной функцией, а норма – мультипликативной однородной функцией.
- Трассировка представляет собой билинейную форму.
-
Интегральная форма трассировки
- Определяется как целочисленная симметричная матрица tij = TrK/Q(bi bj)
- Дискриминант поля K определяется как det(t)
- Матрица, связанная с элементом x, может использоваться для получения других описаний алгебраических целых чисел
-
Алгебраические целые числа
- Элемент x является алгебраическим целым числом, если характеристический многочлен pA матрицы A, связанной с x, является моническим многочленом с целыми коэффициентами
- Если x является корнем монического многочлена с целыми коэффициентами, то соответствующая матрица A также является целочисленной
-
Пример с интегральной основой
- Поле K = Q(x), где x удовлетворяет x3 − 11×2 + x + 1 = 0
- Интегральный базис равен [1, x, 1/2(x2 + 1)]
- Интегральная форма следа равна [3 11 61 11 119 653 61 653 3589]
-
Места в числовом поле
- Место в числовом поле K является классом эквивалентности абсолютных значений на K
- Абсолютное значение измеряет размер элементов x от K
- Типы мест делятся на три категории: тривиальное, архимедовы и неархимедовы пространства
-
Завершение K по отношению к месту
- Завершение K по отношению к месту |⋅|p задается путем взятия последовательностей Коши и выделения нулевых последовательностей
- Для K = Q возникают нетривиальные нормы: обычное абсолютное значение и p-адическое абсолютное значение
-
Примеры
- Поле K = Q[x]/(x6 − 2) = Q(θ) для θ = ζ26 представляет собой богатый пример построения архимедовых и неархимедовых вложений
-
Архимедовы места
- Вычисление архимедовых значений делается через минимальный многочлен f элемента x
- Корни факторов первой степени дают реальные вложения, корни второй степени дают комплексные вложения
- Если все корни f реальные (соответственно, сложные), K называется абсолютно реальным (соответственно, полностью сложным)
-
Неархимедовы или ультраметрические пространства
- Для нахождения неархимедовых мест используется p-адическая факторизация минимального многочлена f
- Ультраметрические места определяются через p-адические нормы и трассировки
- Для любого ультраметрического места v, |x|v ≤ 1 для любого x в OK
-
Нормальные члены и абсолютные значения
- Нормальные члены коэффициентов являются p-адическими целыми числами.
- Одно из них используется для определения абсолютного значения для v.
-
Простые идеалы и ультраметрические места
- Подмножество OK определяется как |x|v < 1.
- Простой идеал p от OK соответствует ультраметрическому месту v.
- Дискретная оценка может быть определена для простого идеала p.
-
Локализация и эквивалентности
- Локализация OK является подкольцом из всех элементов x с |x|v ≤ 1.
- Локализация является кольцом и содержит OK.
- Существует трехсторонняя эквивалентность между ультраметрическими абсолютными значениями, простыми идеалами и локализациями.
-
Лежащий над теоремой и места
- Простой идеал в OK лежит поверх p, если o ∩ OK = p.
- Существует сюръективное отображение между Spec(OK) и Spec(OL).
- Места в L могут разделять место в K.
-
Ветвление и индексы ветвления
- Ветвление описывает геометрическое явление с отображениями типа “конечное к одному”.
- Простой идеал p разветвляется на K, если один индекс ветвления больше единицы.
- Ветвление является чисто локальным свойством.
-
Пример вычисления индекса ветвления
- Индекс ветвления Q(x) в 23 равен двум.
- Оценки элементов K могут быть вычислены с использованием результирующих значений.
-
Дискриминантная теорема Дедекинда
- Разветвленные ультраметрические области получаются из разложения на множители в Qp, где p делит дискриминант.
- Дискриминант Дедекинда утверждает, что если p делит дискриминант, то существует p-место, которое разветвляется.
-
Группы Галуа и когомологии Галуа
- Группы Галуа изучают расширения полей K / L через автоморфизмы полей K.
- Пример: группа Галуа расширения кругового поля степени n.
- Абсолютная группа Галуа G = Gal (K / K) включает все возможные расширения.
-
Фундаментальная теорема теории Галуа
- Связывает поля K и его алгебраическое замыкание.
- Абелианизация Gab соответствует максимальному абелеву расширению Kab.
- Поле класса Гильберта имеет конечную группу Галуа и изоморфно группе классов из K.
-
Модули Галуа и когомологии
- Группа Галуа может действовать на другие математические объекты, такие как группы.
- Модули Галуа используются в арифметических двойственностях.
- Группа компаний Brauer может быть преобразована в группу когомологий H2(Gal (K, K×)).
-
Локально-глобальный принцип
- Глобальные проблемы решаются на местном уровне.
- Локальные поля являются завершениями K во всех местах.
- Принцип Хассе утверждает, что решения полиномиальных уравнений в K также являются решениями для всех завершений.
-
Адели и иделес
- Кольцо Адель собирает локальные данные.
- Мультипликативный вариант называется ideles.