Оглавление
- 1 Field (mathematics)
- 1.1 Определение поля
- 1.2 Примеры полей
- 1.3 Алгебраические структуры
- 1.4 Применение полей
- 1.5 Альтернативные определения
- 1.6 Свойства полей
- 1.7 Определение поля
- 1.8 Характеристика поля
- 1.9 Подполя и простые поля
- 1.10 Конечные поля
- 1.11 История
- 1.12 Построение полей
- 1.13 Поля и их характеристики
- 1.14 Построение полей
- 1.15 Подполя и расширения полей
- 1.16 Алгебраические и трансцендентные элементы
- 1.17 Алгебраически замкнутые поля
- 1.18 Упорядоченные и архимедовы поля
- 1.19 Полные и архимедовы поля
- 1.20 Гиперреальности и топологические поля
- 1.21 Локальные поля
- 1.22 Дифференциальные поля
- 1.23 Теория Галуа
- 1.24 Инварианты полей
- 1.25 Модельная теория полей
- 1.26 Абсолютная группа Галуа
- 1.27 Приложения
- 1.28 Теория модулей и конечные поля
- 1.29 Геометрия: поле функций
- 1.30 Теория чисел: глобальные поля
- 1.31 Связанные понятия
- 1.32 Разделительные кольца
- 1.33 Полный текст статьи:
- 2 Поле (математика)
Field (mathematics)
-
Определение поля
- Поле — это множество с двумя операциями: сложением и умножением, которые ведут себя как в рациональных и действительных числах.
- Поле удовлетворяет аксиомам ассоциативности, коммутативности, существования единиц и обратных элементов.
- Поле также должно удовлетворять дистрибутивности умножения относительно сложения.
-
Примеры полей
- Рациональные числа: числа, которые можно записать как дроби a/b, где a и b — целые числа, а b ≠ 0.
- Действительные числа: числа, удовлетворяющие обычным операциям сложения и умножения.
- Комплексные числа: числа, состоящие из действительных чисел и мнимой единицы i.
- Конструктивные числа: числа, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.
-
Алгебраические структуры
- Поле может быть использовано как скаляры для векторного пространства.
- Числовые поля, такие как рациональные числа, изучаются в теории чисел.
- Функциональные поля помогают описывать свойства геометрических объектов.
-
Применение полей
- Поля используются в различных областях математики, включая анализ и линейную алгебру.
- Теория полей доказывает невозможность трисекции угла и квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.
- Теория Галуа объясняет, почему общие кубические уравнения не могут быть решены в радикалах.
-
Альтернативные определения
- Поле можно определить через четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление.
- Поле можно определить через две операции: сложение и умножение, две унарные операции (обратные элементы) и две нулевые операции (единицы).
-
Свойства полей
- Поле является коммутативным кольцом, где 0 ≠ 1 и все ненулевые элементы обратимы.
- Поле является интегральным доменом, что означает, что если ab = 0, то a или b равны нулю.
- Поле является абелевой группой под сложением.
-
Определение поля
- Поле — это множество с двумя операциями: сложением и умножением, где сложение образует абелеву группу, а умножение — абелеву группу без нуля.
- Умножение дистрибутивно относительно сложения.
-
Характеристика поля
- Поле имеет характеристику 0, если нет положительного целого числа, кратного характеристике.
- Поле имеет характеристику p, если существует положительное целое число, кратное характеристике, и p — наименьшее такое число.
- В поле с характеристикой p все элементы, кратные p, равны нулю.
-
Подполя и простые поля
- Подполе — это подмножество поля, являющееся полем относительно операций поля.
- Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
- Простые поля изоморфны конечным полям с характеристикой p или рациональным числам.
-
Конечные поля
- Конечные поля (поля Галуа) имеют конечное число элементов, называемое порядком поля.
- Конечные поля с простым порядком строятся с помощью модулярной арифметики.
- Конечные поля изоморфны друг другу, если их порядки совпадают.
-
История
- Понятие поля возникло из алгебраических дисциплин: решения полиномиальных уравнений, алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии.
- Лагранж и Гаусс внесли значительный вклад в развитие теории полей.
- Декарт и Гаусс работали с алгебраическими числами, но не ввели понятие поля.
- В 1871 году Дедекинд ввел термин “поле” для замкнутых систем чисел.
- В 1881 году Кронекер определил область рациональности, которая является полем рациональных дробей.
- В 1893 году Вебер дал первое четкое определение абстрактного поля.
- В 1910 году Штейниц систематизировал знания о полях и ввел многие важные понятия.
- В 1927 году Артин и Шрайер связали понятие упорядочений в поле с анализом.
-
Построение полей
- Поля можно строить из колец, удовлетворяющих всем аксиомам поля, кроме существования мультипликативных обратных.
- Примеры: Z — коммутативное кольцо, но не поле, так как обратное к n не является целым числом.
-
Поля и их характеристики
- Поля — это коммутативные кольца с единицей и двумя различными идеалами.
- Поля также являются коммутативными кольцами с единственным простым идеалом.
-
Построение полей
- Поле дробей строится из дробей двух элементов кольца.
- Поле вычетов получается из кольца с максимальным идеалом.
-
Подполя и расширения полей
- Подполя строятся из элементов заданного поля.
- Расширения полей определяются степенью и алгебраическими элементами.
-
Алгебраические и трансцендентные элементы
- Алгебраические элементы удовлетворяют полиномиальным уравнениям.
- Трансцендентные элементы не удовлетворяют полиномиальным уравнениям.
-
Алгебраически замкнутые поля
- Алгебраически замкнутые поля не имеют строго больших алгебраических расширений.
- Алгебраическое замыкание поля F является алгебраически замкнутым и алгебраичным по отношению к F.
-
Упорядоченные и архимедовы поля
- Упорядоченные поля имеют порядок, удовлетворяющий определенным условиям.
- Архимедовы поля не содержат бесконечно малых элементов.
-
Полные и архимедовы поля
- Полные поля являются архимедовыми.
- R является единственным полным упорядоченным полем с точностью до изоморфизма.
-
Гиперреальности и топологические поля
- Гиперреальности R* образуют упорядоченное поле, включающее бесконечные и бесконечно малые числа.
- Топологические поля определяются метрикой, измеряющей расстояние между элементами.
- Заполнение поля F заполняет “пробелы” в исходном поле.
-
Локальные поля
- Конечные расширения Qp и Fp((t)) называются локальными полями.
- Элементы p ∈ Qp и t ∈ Fp((t)) соответствуют друг другу.
- Группы Галуа этих полей изоморфны.
-
Дифференциальные поля
- Дифференциальные поля оснащены производной, позволяющей получать производные от элементов.
- Эти поля занимают центральное место в дифференциальной теории Галуа.
-
Теория Галуа
- Теория Галуа изучает алгебраические расширения поля.
- Конечные расширения Галуа F / E являются разделимыми и нормальными.
- Группа Галуа Gal (F / E) устанавливает соответствие между подгруппами и промежуточными расширениями.
-
Инварианты полей
- Основные инварианты поля включают характеристику и степень трансцендентности.
- Два алгебраически замкнутых поля изоморфны, если их характеристики и степени трансцендентности совпадают.
-
Модельная теория полей
- Два поля E и F элементарно эквивалентны, если каждое математическое утверждение верно для обоих.
- Принцип Лефшеца утверждает, что C элементарно эквивалентно любому алгебраически замкнутому полю с нулевой характеристикой.
-
Абсолютная группа Галуа
- Для неалгебраически замкнутых полей важна абсолютная группа Галуа Gal (F).
- Группа Gal (Fq) является группой Прюфера и управляет конечными отделимыми расширениями.
-
Приложения
- Линейная алгебра и коммутативная алгебра используют свойства полей для решения уравнений и доказательства теорем.
-
Теория модулей и конечные поля
- Теория модулей сложнее, чем теория полей, из-за возможности нескольких решений или их отсутствия.
- Системы линейных уравнений над кольцами сложнее решать, чем над полями.
- Конечные поля используются в криптографии и теории кодирования.
-
Геометрия: поле функций
- Функции в топологическом пространстве образуют коммутативную алгебру.
- Поле функций формируется из соотношений двух функций.
- Функциональное поле алгебраического многообразия состоит из отношений регулярных функций.
- Функциональное поле инвариантно относительно изоморфизма и бирациональной эквивалентности.
-
Теория чисел: глобальные поля
- Глобальные поля включают числовые поля и функциональные поля над Fq.
- Локальные поля дополняют глобальные поля.
- Теорема Островского утверждает, что единственными дополнениями Q являются Qp и R.
- Локально-глобальный принцип используется для изучения арифметических вопросов в глобальных областях.
-
Связанные понятия
- Поля содержат как минимум два элемента, но существуют поля с одним элементом.
- Существуют квазиполя, ближние поля и полуполя.
- Сюрреалистические числа и нимберы образуют поля.
-
Разделительные кольца
- Отказ от аксиом поля приводит к другим алгебраическим структурам.
- Кольца деления удовлетворяют всем аксиомам поля, кроме существования мультипликативных обратных.
- Единственными конечномерными R-векторными пространствами с делением являются R, C и кватернионы H.
- Октонионы O являются нормированной альтернативной алгеброй с делением, но не кольцом с делением.
- Маленькая теорема Уэддерберна утверждает, что все конечные кольца деления являются полями.