Многочлен Лагранжа
-
Определение и свойства интерполяционного многочлена Лагранжа
- Интерполяционный многочлен Лагранжа — это многочлен, который интерполирует функцию в узлах.
- Базисные многочлены Лагранжа — это многочлены, которые интерполируют функцию в узлах и удовлетворяют условиям интерполяции.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа уникален и обратим, что делает его полезным для теоретических доказательств.
-
Интерполяция в узлах
- Интерполяционный многочлен Лагранжа интерполирует функцию в узлах, используя базисные многочлены.
- Базисные многочлены Лагранжа определяются как линейные комбинации функций от разности между узлами.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа может быть представлен в виде линейной комбинации базисных многочленов.
-
Примеры и практические аспекты
- Интерполяционный многочлен Лагранжа используется для интерполяции функций в узлах.
- При интерполяции в равноудаленных точках многочлен Лагранжа может колебаться выше и ниже истинной функции, что называется феноменом Рунге.
- Для устранения этого эффекта можно использовать узлы Чебышева.
-
Остатки в интерполяционной формуле Лагранжа
- Остаток в интерполяционной формуле Лагранжа равен разности между интерполированной функцией и исходной функцией.
- Остаток может быть выражен через контур интеграл или через разделенные разности.
- Остаток равен нулю в узлах и может быть использован для определения константы в интерполяционной формуле.
-
Производные интерполяционного многочлена Лагранжа
- Производные интерполяционного многочлена Лагранжа могут быть вычислены через производные базисных многочленов.
- В узлах и вблизи них формулы для производных не применимы.
- Эффективный способ оценки производных — преобразование многочлена Лагранжа в степенную базисную форму.
-
Применение в конечных полях
- Многочлен Лагранжа может быть вычислен в конечных полях, что находит применение в криптографии.
-
Ссылки и ресурсы
- В статье приведены ссылки на различные реализации и ресурсы, связанные с интерполяционным многочленом Лагранжа.
Полный текст статьи: