Полиномиальный хаос
-
Полиномиальный хаос (PC)
- Метод представления случайной величины в терминах полиномиальной функции других случайных величин
- Многочлены выбраны так, чтобы быть ортогональными по отношению к совместному распределению вероятностей
- Впервые представлен Норбертом Винером в 1938 году
-
Обобщенный полиномиальный хаос (gPC)
- Обобщение PC на различные непрерывные и дискретные распределения
- Демонстрация L2 сходимости в гильбертовом функциональном пространстве
- Применяется в стохастической гидродинамике, стохастических конечных элементах и других областях
-
Произвольный полиномиальный хаос (aPC)
- Обобщение PC на произвольные распределения с произвольными вероятностными показателями
- Требует только конечного числа моментов и не требует полного знания функции плотности вероятности
- Демонстрирует экспоненциальную скорость сходимости
-
Полиномиальный хаос и неполнота статистической информации
- Для построения разложения конечного порядка требуется лишь частичная информация о вероятностной мере
- Неполнота статистической информации ограничивает полезность разложений высокого порядка
-
Полиномиальный хаос и нелинейное предсказание
- Используется для прогнозирования нелинейных функционалов гауссовских стационарных процессов
- Приводит к простой формуле предсказания дробного броуновского движения
-
Байесовский полиномиальный хаос
- Оценка коэффициентов расширения как проблема байесовской регрессии
- Доступны аналитические выражения для достоверности данных и неопределенности коэффициентов
- Неопределенность коэффициентов может быть использована для оценки качества и достоверности PCE
-
Неопределенность PCE
- Второй срок I_BOS_2 представляет дополнительную логическую неопределенность в Y.
- При достаточном количестве данных Var(cm) становится пренебрежимо малым.
- Соотношение I_1/I_1+I_2 определяет долю неопределенности PCE в общей неопределенности.
-
Оценка неопределенности PCE
- Если I_1/I_1+I_2 ≈ 0.5, половина неопределенности связана с PCE.
- Если I_1/I_1+I_2 ≈ 1, неопределенность PCE невелика.
-
Выбор байесовской суррогатной модели
- Определяется вероятность для конкретной суррогатной модели.
- Доказательства из данных Z_BOS_S подтверждают набор коэффициентов расширения c_i и базовые функции Ψ_i.
- Z_BOS_S зависит от количества данных N_s, количества терминов в PCE N_p и телесного угла Ω_Np.
-
Применение результатов
- Аналогичные результаты могут быть использованы для кригинга.
- Результаты применимы к анализу чувствительности на основе дисперсий и байесовской регрессии.