Оглавление
- 1 Многочлены Макдональда
- 1.1 Определение многочленов Макдональда
- 1.2 Свойства многочленов Макдональда
- 1.3 Многочлены Коорнвиндера
- 1.4 Определение и свойства
- 1.5 Примеры и гипотезы
- 1.6 Комбинаторная формула
- 1.7 Преобразованные многочлены Макдональда
- 1.8 Несимметричные многочлены Макдональда
- 1.9 Комбинаторные формулы
- 1.10 Рекомендации
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Полиномы Макдональда
Многочлены Макдональда
-
Определение многочленов Макдональда
- Многочлены Макдональда Pλ (x; t, q) — семейство ортогональных симметричных многочленов от нескольких переменных.
- Введены Макдональдом в 1987 году, позже обобщены в 1995 году.
- Связываются с аффинными корневыми системами, а не с конечными.
-
Свойства многочленов Макдональда
- Многочлены от n переменных, где n — ранг аффинной корневой системы.
- Обобщают многочлены Джека, Холла–Литтлвуда и Аски–Уилсона.
- Включают большинство ортогональных многочленов с 1 переменной.
-
Многочлены Коорнвиндера
- Многочлены Макдональда от нередуцированных корневых систем.
- Связаны с аффинными алгебрами Гекке и схемами Гильберта.
-
Определение и свойства
- Определяются через весовую решетку и вектор Вейля.
- Ортогональны, что не тривиально из-за неполного упорядочения P+.
- Доказана ортогональность через собственные векторы алгебры коммутирующих самосопряженных операторов.
-
Примеры и гипотезы
- При q = t становятся символами Вейля или функциями Шура.
- При q = 0 становятся зональными сферическими функциями или многочленами Холла–Литтлвуда.
- При t = 1 становятся мономиальными симметричными функциями.
- При t = qa и q → 1 становятся многочленами Джека или Хекмана–Опдама.
- Гипотеза о постоянном члене Макдональда доказана Чередником.
- Гипотеза о положительности Макдональда доказана Хайманом.
-
Комбинаторная формула
- Хаглунд, Хайман и Лоэр дали первое доказательство комбинаторной интерпретации.
- Макдональд дал второе доказательство в 1988 году.
- Формула Макдональда отличается от формулы Хаглунда, Хаймана и Лоэра.
- Формула выражает многочлены Макдональда через комбинаторные статистики.
-
Преобразованные многочлены Макдональда
- Преобразованные многочлены Макдональда связаны с классическими многочленами Макдональда через последовательность преобразований.
- Интегральная форма многочленов Макдональда, Jλ(x;q,t), очищает знаменатели коэффициентов.
- Преобразованные многочлены Макдональда могут быть определены через Jμ.
-
Несимметричные многочлены Макдональда
- В 1995 году Макдональд представил несимметричный аналог симметричных многочленов Макдональда.
- Несимметричные многочлены Макдональда ортогональны некоторому внутреннему произведению и удовлетворяют свойству треугольности.
- В 2007 году Хаглунд, Хайман и Лоэр вывели комбинаторную формулу для несимметричных многочленов Макдональда.
-
Комбинаторные формулы
- В 2018 году Кортил, Мандельштам и Уильямс использовали процесс исключения для прямой комбинаторной характеристики многочленов Макдональда.
- Несимметричный многочлен Макдональда удовлетворяет формуле, включающей многострочные очереди и весовую функцию.
- Симметричный многочлен Макдональда удовлетворяет формуле, включающей композиции перестановок.
-
Рекомендации
- Библиография включает работы Хаймана и Макдональда по симметричным функциям и многочленам Макдональда.