Положительный линейный функционал
-
Положительные линейные функционалы
- Линейный функционал f на упорядоченном векторном пространстве (V, ≤) является положительным, если f(v) ≥ 0 для всех положительных элементов v.
- В сложных векторных пространствах f(v) должно быть реальным для всех v ≥ 0.
- В C*-алгебрах положительные элементы могут быть определены только на подпространстве W ⊆ V.
-
Непрерывность положительных линейных функционалов
- В топологических векторных решетках каждая положительная линейная форма непрерывна.
- В упорядоченных топологических векторных пространствах с положительным конусом C и семейством ограниченных подмножеств B, каждый положительный линейный функционал является непрерывным, если C имеет непустую топологическую внутреннюю часть, X является полным и метризуемым, X = C-C, X является борнологическим и C является неполным строгим B-конусом, или X является индуктивным пределом семейства упорядоченных пространств Фреше.
-
Примеры положительных линейных функционалов
- Функция трассировки в C*-алгебре комплексных квадратных матриц является положительным функционалом.
- Функционал ψ, определяемый как интеграл от функции f по мере μ, является положительным функционалом в пространстве Рисса Cc(X).
-
Положительные линейные функционалы в C*-алгебрах
- Линейный функционал ρ на C*-алгебре M с идентичностью 1 является положительным, если ρ(a) ≥ 0 для всех a ∈ M+.
- Неравенство Коши–Шварца связывает полуопределенную полуторалинейную форму на A с ρ(b∗a).
-
Приложения в экономике
- Ценовая система может рассматриваться как непрерывный, положительный, линейный функционал на C.