Оглавление
Polarization of an algebraic form
-
Определение и применение
- Поляризация — это метод упрощения однородных многочленов путём добавления переменных.
- Метод используется в алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории представлений.
- Поляризация и связанные методы лежат в основе теории инвариантов Вейля.
-
Основные идеи
- Пусть f(u) — многочлен в n переменных u.
- f(t u) = t^d f(u) для всех t.
- Поляризация f(u) — это многочлен F(u(1), u(2), …, u(d)), линейный по каждому u(i), симметричный по u(i) и такой, что F(u, u, …, u) = f(u).
- F(u(1), …, u(d)) = 1/d! ∂∂λ1 … ∂∂λd f(λ1 u(1) + … + λd u(d)) |λ=0.
-
Примеры
- Квадратичный пример: f(x) = x^2 + 3xy + 2y^2, F(x(1), x(2)) = x(1)x(2) + 3/2 x(2)y(1) + 3/2 x(1)y(2) + 2y(1)y(2).
- Кубический пример: f(x, y) = x^3 + 2xy^2, F(x(1), y(1), x(2), y(2), x(3), y(3)) = x(1)x(2)x(3) + 2/3 x(1)y(2)y(3) + 2/3 x(3)y(1)y(2) + 2/3 x(2)y(3)y(1).
-
Математические детали и следствия
- Поляризация однородных многочленов степени d верна над любым коммутативным кольцом, где d! — единица.
- В частности, она верна над полями характеристики 0 или больше d.
- Поляризация индуцирует изоморфизм векторных пространств в каждой степени: A_d ≅ Sym_d k^n.
- Эти изоморфизмы можно выразить независимо от базиса.
- Поляризация совместима с алгебраической структурой на A, так что A ≅ Sym_∙ V^*.
-
Примечания
- Для полей положительной характеристики p изоморфизмы применимы, если градуированные алгебры усечены до степени p-1.
- Существуют обобщения для бесконечномерных топологических векторных пространств.