Полярное разложение

Оглавление1 Полярное разложение1.1 Полярное разложение матрицы1.2 Геометрическая интерпретация1.3 Свойства1.4 Отношение к SVD1.5 Полярное разложение обратимых матриц1.6 Построение и доказательства существования1.7 […]

Полярное разложение

  • Полярное разложение матрицы

    • Полярное разложение матрицы A = U P, где U — унитарная матрица, P — положительно-полуопределенная эрмитова матрица.  
    • U и P могут быть расширены до прямоугольных матриц.  
    • Разложение всегда существует и P уникален.  
  • Геометрическая интерпретация

    • A = RP, где R — вещественная ортонормированная матрица.  
    • A = PR, где R — вращение, P — масштабирование.  
  • Свойства

    • Полярное разложение комплексного сопряженного A = U¯ P¯.  
    • Определитель A = det U det P = e^iθr.  
    • P = (A∗A)1/2, где A∗ — сопряженная транспозиция A.  
  • Отношение к SVD

    • P = VΣV∗, U = WV∗.  
    • P′ = UPU−1 = (AA∗)1/2 = WΣW∗.  
    • Левополярная декомпозиция также известна как обратная полярная декомпозиция.  
  • Полярное разложение обратимых матриц

    • A = |A|R, где |A| = (AA∗)1/2 и R = |A|−1A.  
    • A является нормальной тогда и только тогда, когда U и P коммутируют.  
  • Построение и доказательства существования

    • Вывод для нормальных матриц: A = VΦΛ|Λ|V∗.  
    • Вывод для обратимых матриц: A = A(A∗A)−1/2(A∗A)1/2.  
  • Полярное разложение матриц

    • Матрица является унитарной тогда и только тогда, когда её сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение.  
    • Унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определена однозначно.  
    • SVD квадратной матрицы A = W D1/2 V∗, где W и V — унитарные матрицы, а D — диагональная положительная полуопределенная матрица.  
    • Полярное разложение можно записать как A = P U = U P′, где U — частичная изометрия.  
  • Полярное разложение ограниченных операторов

    • Полярное разложение ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами — это каноническая факторизация как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.  
    • Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не до унитарности.  
    • Существование полярного разложения следует из леммы Дугласа.  
  • Полярное разложение неограниченных операторов

    • Замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор A между комплексными гильбертовыми пространствами имеет (уникальное) полярное разложение A = U|A|.  
    • U — частичная изометрия, обращающаяся в нуль на ортогональном дополнении диапазона ran(|A|).  
  • Полярное разложение кватернионов

    • Полярное разложение кватернионов зависит от единицы измерения 2-мерной сферы.  
    • Полярное разложение кватерниона q = r e^a j, где r — правильный множитель, a — угол, t — норма.  
  • Альтернативные плоские разложения

    • В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают при замене единичной окружности прямой x = 1.  
    • Полярное разложение точки в одном из квадрантов имеет вид re^aj, −re^aj, rje^aj, −rje^aj, r > 0.  
  • Численное определение полярного разложения матрицы

    • Для вычисления аппроксимации полярного разложения A = UP обычно аппроксимируется унитарный множитель U.  
    • Итерация основана на методе Херона для получения квадратного корня из 1.  
    • Базовая итерация может быть усовершенствована для ускорения процесса.  
  • Итерация с использованием нормы Фробениуса

    • Включает масштабный коэффициент  
    • QR-декомпозиция используется для преобразования сингулярной матрицы в обычную  
    • Метод Херона для вычисления корней из x^2-1=0 может быть заменен методами более высокого порядка  
  • Метод третьего порядка Галлея

    • Приводит к итерации U_k+1 = U_k(I+3U_k^*)U_k^-1(3I+U_k^*)U_k  
    • Итерация может быть объединена с изменением масштаба  
  • Преимущества формулы

    • Применима к сингулярным или прямоугольным матрицам A  
  • Дополнительные методы

    • Декомпозиция Картана  
    • Алгебраическое полярное разложение  
    • Полярная декомпозиция комплексной меры  
    • Декомпозиция группы Ли  
  • Рекомендации

    • Конвей, Дж.Б.: Курс функционального анализа  
    • Дуглас, Р.Г.: О мажоризации, факторизации и включении диапазона операторов в Гильбертово пространство  

Полный текст статьи:

Полярное разложение

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх