Оглавление
- 1 Полярное разложение
- 1.1 Полярное разложение матрицы
- 1.2 Геометрическая интерпретация
- 1.3 Свойства
- 1.4 Отношение к SVD
- 1.5 Полярное разложение обратимых матриц
- 1.6 Построение и доказательства существования
- 1.7 Полярное разложение матриц
- 1.8 Полярное разложение ограниченных операторов
- 1.9 Полярное разложение неограниченных операторов
- 1.10 Полярное разложение кватернионов
- 1.11 Альтернативные плоские разложения
- 1.12 Численное определение полярного разложения матрицы
- 1.13 Итерация с использованием нормы Фробениуса
- 1.14 Метод третьего порядка Галлея
- 1.15 Преимущества формулы
- 1.16 Дополнительные методы
- 1.17 Рекомендации
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Полярное разложение
Полярное разложение
-
Полярное разложение матрицы
- Полярное разложение матрицы A = U P, где U — унитарная матрица, P — положительно-полуопределенная эрмитова матрица.
- U и P могут быть расширены до прямоугольных матриц.
- Разложение всегда существует и P уникален.
-
Геометрическая интерпретация
- A = RP, где R — вещественная ортонормированная матрица.
- A = PR, где R — вращение, P — масштабирование.
-
Свойства
- Полярное разложение комплексного сопряженного A = U¯ P¯.
- Определитель A = det U det P = e^iθr.
- P = (A∗A)1/2, где A∗ — сопряженная транспозиция A.
-
Отношение к SVD
- P = VΣV∗, U = WV∗.
- P′ = UPU−1 = (AA∗)1/2 = WΣW∗.
- Левополярная декомпозиция также известна как обратная полярная декомпозиция.
-
Полярное разложение обратимых матриц
- A = |A|R, где |A| = (AA∗)1/2 и R = |A|−1A.
- A является нормальной тогда и только тогда, когда U и P коммутируют.
-
Построение и доказательства существования
- Вывод для нормальных матриц: A = VΦΛ|Λ|V∗.
- Вывод для обратимых матриц: A = A(A∗A)−1/2(A∗A)1/2.
-
Полярное разложение матриц
- Матрица является унитарной тогда и только тогда, когда её сингулярные значения имеют унитарное абсолютное значение.
- Унитарная матрица в полярном разложении обратимой матрицы определена однозначно.
- SVD квадратной матрицы A = W D1/2 V∗, где W и V — унитарные матрицы, а D — диагональная положительная полуопределенная матрица.
- Полярное разложение можно записать как A = P U = U P′, где U — частичная изометрия.
-
Полярное разложение ограниченных операторов
- Полярное разложение ограниченного линейного оператора A между комплексными гильбертовыми пространствами — это каноническая факторизация как произведение частичной изометрии и неотрицательного оператора.
- Оператор U должен быть ослаблен до частичной изометрии, а не до унитарности.
- Существование полярного разложения следует из леммы Дугласа.
-
Полярное разложение неограниченных операторов
- Замкнутый, плотно определенный неограниченный оператор A между комплексными гильбертовыми пространствами имеет (уникальное) полярное разложение A = U|A|.
- U — частичная изометрия, обращающаяся в нуль на ортогональном дополнении диапазона ran(|A|).
-
Полярное разложение кватернионов
- Полярное разложение кватернионов зависит от единицы измерения 2-мерной сферы.
- Полярное разложение кватерниона q = r e^a j, где r — правильный множитель, a — угол, t — норма.
-
Альтернативные плоские разложения
- В декартовой плоскости альтернативные плоские кольцевые разложения возникают при замене единичной окружности прямой x = 1.
- Полярное разложение точки в одном из квадрантов имеет вид re^aj, −re^aj, rje^aj, −rje^aj, r > 0.
-
Численное определение полярного разложения матрицы
- Для вычисления аппроксимации полярного разложения A = UP обычно аппроксимируется унитарный множитель U.
- Итерация основана на методе Херона для получения квадратного корня из 1.
- Базовая итерация может быть усовершенствована для ускорения процесса.
-
Итерация с использованием нормы Фробениуса
- Включает масштабный коэффициент
- QR-декомпозиция используется для преобразования сингулярной матрицы в обычную
- Метод Херона для вычисления корней из x^2-1=0 может быть заменен методами более высокого порядка
-
Метод третьего порядка Галлея
- Приводит к итерации U_k+1 = U_k(I+3U_k^*)U_k^-1(3I+U_k^*)U_k
- Итерация может быть объединена с изменением масштаба
-
Преимущества формулы
- Применима к сингулярным или прямоугольным матрицам A
-
Дополнительные методы
- Декомпозиция Картана
- Алгебраическое полярное разложение
- Полярная декомпозиция комплексной меры
- Декомпозиция группы Ли
-
Рекомендации
- Конвей, Дж.Б.: Курс функционального анализа
- Дуглас, Р.Г.: О мажоризации, факторизации и включении диапазона операторов в Гильбертово пространство