Поток средней кривизны
-
Определение и свойства потока средней кривизны
- Поток средней кривизны — это поток, который сжимает поверхность в точку, сохраняя ее среднюю кривизну.
- Поток средней кривизны является обобщением потока, сокращающего кривизну, и имеет важные приложения в дифференциальной геометрии.
-
История и развитие
- Поток средней кривизны был впервые описан Герхардом Хюискеном в 1957 году.
- Хюискен использовал поток для решения изопериметрической задачи и показал, что он приводит к экстремальной площади поверхности.
- В 1960-х годах поток средней кривизны был обобщен на случай произвольных многообразий и стал важным инструментом в дифференциальной геометрии.
-
Теоремы и свойства
- Поток средней кривизны сохраняет среднюю кривизну поверхности и сжимает ее в точку.
- В случае одномерного потока, сокращающего кривую, поток средней кривизны эквивалентен потоку, укорачивающему кривизну.
- Для поверхностей размерности два и более теорема Герхарда Хюискена утверждает, что они сжимаются в сферу.
- Существуют встроенные поверхности, которые остаются самоподобными при сжатии в точку под действием потока средней кривизны.
-
Примеры и приложения
- Простой пример потока средней кривизны — семейство концентрических круглых гиперсфер в евклидовом пространстве.
- Поток средней кривизны используется для решения изопериметрической задачи и других задач в дифференциальной геометрии.