Примеры групп
-
Определение и примеры групп
- Группа — это множество с определенной операцией, которая удовлетворяет определенным условиям.
- Примеры групп включают группы переводов, вращения и симметрии.
-
Группы переводов
- Группа переводов описывает движения, которые сохраняют расстояние до фиксированной точки.
- Примеры включают группу движений плоскости и группу движений в трехмерном пространстве.
-
Группы вращений
- Группа вращений описывает движения, которые сохраняют ориентацию.
- Примеры включают группы вращений плоскости и группы вращений в трехмерном пространстве.
-
Группы симметрии
- Группа симметрии описывает движения, которые оставляют объект неизменным.
- Примеры включают группы симметрии квадрата и кристаллов.
-
Создание и свойства групп
- Элементы группы могут быть сформированы путем композиции движений.
- Двугранная группа порядка 8 является примером неабелевой группы с не коммутативной операцией.
-
Нормальные подгруппы
- В группе есть подгруппы, которые являются нормальными и имеют одинаковые смежные классы.
-
Свободные группы
- Свободная группа состоит из всех слов, которые могут быть сформированы из определенных символов.
- Свободные группы важны в алгебраической топологии и используются для доказательства парадокса Банаха-Тарского.
-
Группы автоморфизмов
- Симметричная группа состоит из всех биективных отображений множества на себя.
- Матричные группы включают все обратимые матрицы с определенными свойствами.
-
Группы Ли
- Группы Ли описывают непрерывные симметрии и являются важными в физике и математике.
- Большинство важных групп Ли могут быть выражены через матричные группы.
Полный текст статьи: