Примеры групп

• Определение и примеры групп

  • Группа — это множество с определенной операцией, которая удовлетворяет определенным условиям. 
  • Примеры групп включают группы переводов, вращения и симметрии. 

• Группы переводов

  • Группа переводов описывает движения, которые сохраняют расстояние до фиксированной точки. 
  • Примеры включают группу движений плоскости и группу движений в трехмерном пространстве. 

• Группы вращений

  • Группа вращений описывает движения, которые сохраняют ориентацию. 
  • Примеры включают группы вращений плоскости и группы вращений в трехмерном пространстве. 

• Группы симметрии

  • Группа симметрии описывает движения, которые оставляют объект неизменным. 
  • Примеры включают группы симметрии квадрата и кристаллов. 

• Создание и свойства групп

  • Элементы группы могут быть сформированы путем композиции движений. 
  • Двугранная группа порядка 8 является примером неабелевой группы с не коммутативной операцией. 

• Нормальные подгруппы

  • В группе есть подгруппы, которые являются нормальными и имеют одинаковые смежные классы. 

• Свободные группы

  • Свободная группа состоит из всех слов, которые могут быть сформированы из определенных символов. 
  • Свободные группы важны в алгебраической топологии и используются для доказательства парадокса Банаха-Тарского. 

• Группы автоморфизмов

  • Симметричная группа состоит из всех биективных отображений множества на себя. 
  • Матричные группы включают все обратимые матрицы с определенными свойствами. 

• Группы Ли

  • Группы Ли описывают непрерывные симметрии и являются важными в физике и математике. 
  • Большинство важных групп Ли могут быть выражены через матричные группы.