Оглавление
- 1 Принцип Кавальери
- 1.1 Принцип Кавальери
- 1.2 История принципа Кавальери
- 1.3 Переход от неделимых к бесконечно малым величинам
- 1.4 Примеры применения принципа Кавальери
- 1.5 Обобщение на меры
- 1.6 Интеграл функции f на Ω
- 1.7 Разность положительных функций
- 1.8 Теорема Фубини и принцип Кавальери
- 1.9 Рекомендации и внешние ссылки
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Принцип Кавальери
Принцип Кавальери
-
Принцип Кавальери
- Принцип Кавальери утверждает, что две области на плоскости или в трехмерном пространстве имеют равные площади или объемы, если каждая прямая или плоскость, параллельная этим линиям или плоскостям, пересекает обе области отрезками или поперечными сечениями равной длины или площади.
- Принцип Кавальери является ранним шагом к интегральному исчислению и используется в теореме Фубини и представлении слоеного пирога.
-
История принципа Кавальери
- Принцип Кавальери первоначально назывался методом неделимых и был известен в Европе эпохи Возрождения.
- Кавальери разработал полную теорию неделимых, но не использовал её для получения новых результатов.
- В III веке до н.э. Архимед использовал метод, напоминающий принцип Кавальери, для нахождения объема сферы.
- В V веке нашей эры Цзу Чунчжи и его сын Цзу Генчжи разработали аналогичный метод определения объема сферы.
-
Переход от неделимых к бесконечно малым величинам
- Евангелиста Торричелли и Джон Уоллис перешли от неделимых величин к бесконечно малым величинам, что стало крупным достижением в истории математического анализа.
- Бесконечно малые величины были объектами того же размера, что и фигура, которую они составляют.
-
Примеры применения принципа Кавальери
- В двумерном случае принцип Кавальери используется для нахождения площади циклоиды.
- В трехмерном случае принцип Кавальери применяется для вычисления объемов конусов, пирамид и параболоидов.
- В случае сфер принцип Кавальери используется для вывода формулы объема сферы.
-
Обобщение на меры
- Принцип Кавальери может быть обобщен на меры, что позволяет интегрировать функции на множестве.
- Для функции f на множестве Ω со значениями в R, принцип Кавальери может быть переписан как разность двух положительных функций f = f+ – f-.
-
Интеграл функции f на Ω
- Функция f интегрируется как интеграл по Ω
- Интеграл равен интегралу по t от 0 до ∞
- Интеграл вычисляется по мере μ на множестве {x ∈ Ω: f(x) > t}
-
Разность положительных функций
- Функция f может быть переписана как разность двух положительных функций
- f = f+ – f-, где f+ и f- обозначают положительную и отрицательную части f соответственно
-
Теорема Фубини и принцип Кавальери
- Теорема Фубини является частным случаем принципа Кавальери
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Ссылки на дополнительные материалы и ресурсы