Принцип Кавальери

Оглавление1 Принцип Кавальери1.1 Принцип Кавальери1.2 История принципа Кавальери1.3 Переход от неделимых к бесконечно малым величинам1.4 Примеры применения принципа Кавальери1.5 Обобщение […]

Принцип Кавальери

  • Принцип Кавальери

    • Принцип Кавальери утверждает, что две области на плоскости или в трехмерном пространстве имеют равные площади или объемы, если каждая прямая или плоскость, параллельная этим линиям или плоскостям, пересекает обе области отрезками или поперечными сечениями равной длины или площади.  
    • Принцип Кавальери является ранним шагом к интегральному исчислению и используется в теореме Фубини и представлении слоеного пирога.  
  • История принципа Кавальери

    • Принцип Кавальери первоначально назывался методом неделимых и был известен в Европе эпохи Возрождения.  
    • Кавальери разработал полную теорию неделимых, но не использовал её для получения новых результатов.  
    • В III веке до н.э. Архимед использовал метод, напоминающий принцип Кавальери, для нахождения объема сферы.  
    • В V веке нашей эры Цзу Чунчжи и его сын Цзу Генчжи разработали аналогичный метод определения объема сферы.  
  • Переход от неделимых к бесконечно малым величинам

    • Евангелиста Торричелли и Джон Уоллис перешли от неделимых величин к бесконечно малым величинам, что стало крупным достижением в истории математического анализа.  
    • Бесконечно малые величины были объектами того же размера, что и фигура, которую они составляют.  
  • Примеры применения принципа Кавальери

    • В двумерном случае принцип Кавальери используется для нахождения площади циклоиды.  
    • В трехмерном случае принцип Кавальери применяется для вычисления объемов конусов, пирамид и параболоидов.  
    • В случае сфер принцип Кавальери используется для вывода формулы объема сферы.  
  • Обобщение на меры

    • Принцип Кавальери может быть обобщен на меры, что позволяет интегрировать функции на множестве.  
    • Для функции f на множестве Ω со значениями в R, принцип Кавальери может быть переписан как разность двух положительных функций f = f+ – f-.  
  • Интеграл функции f на Ω

    • Функция f интегрируется как интеграл по Ω  
    • Интеграл равен интегралу по t от 0 до ∞  
    • Интеграл вычисляется по мере μ на множестве {x ∈ Ω: f(x) > t}  
  • Разность положительных функций

    • Функция f может быть переписана как разность двух положительных функций  
    • f = f+ – f-, где f+ и f- обозначают положительную и отрицательную части f соответственно  
  • Теорема Фубини и принцип Кавальери

    • Теорема Фубини является частным случаем принципа Кавальери  
  • Рекомендации и внешние ссылки

    • Ссылки на дополнительные материалы и ресурсы  

Полный текст статьи:

Принцип Кавальери

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх