Оглавление
- 1 Дельта-функция Дирака
- 1.1 Определение и свойства дельта-функции Дирака
- 1.2 История и мотивация
- 1.3 Математическая строгость
- 1.4 Применение в физике и технике
- 1.5 Ограничения и проблемы
- 1.6 Определение дельта-функции
- 1.7 Мера Дирака
- 1.8 Вероятностная мера
- 1.9 Дистрибутив
- 1.10 Обобщения
- 1.11 Свойства
- 1.12 Основные свойства дельта-функции
- 1.13 Свойства в n измерениях
- 1.14 Преобразование Фурье
- 1.15 Применение в обработке сигналов
- 1.16 Преобразование Фурье и Лапласа
- 1.17 Производные дельта-функции
- 1.18 Свойства производных
- 1.19 Дельта-распределение в многомерных пространствах
- 1.20 Представления дельта-функции
- 1.21 Приближения к тождеству
- 1.22 Вероятностные соображения
- 1.23 Свертка с распределением вероятностей
- 1.24 Полугруппы свертки
- 1.25 Тепловое ядро
- 1.26 Ядро Пуассона
- 1.27 Колебательные интегралы
- 1.28 Разложение по плоской волне
- 1.29 Интеграл и преобразование Радона
- 1.30 Разложение плоской волны
- 1.31 Ядра Фурье
- 1.32 Теория Гильбертова пространства
- 1.33 Пространства голоморфных функций
- 1.34 Разрешения проблемы идентичности
- 1.35 Бесконечно малые дельта-функции
- 1.36 Определение бесконечно малой величины
- 1.37 Дельта-функция Дирака
- 1.38 Теорема Сохоцкого–Племеля
- 1.39 Связь с дельтой Кронекера
- 1.40 Приложения в теории вероятностей
- 1.41 Приложения в квантовой механике
- 1.42 Использование дельта-функции в строительной механике
- 1.43 Уравнение статического отклонения тонкой балки
- 1.44 Интегрирование дельта-функции
- 1.45 Точечные моменты и дельта-функции
- 1.46 Полный текст статьи:
- 2 Дельта-функция Дирака – Arc.Ask3.Ru
Дельта-функция Дирака
-
Определение и свойства дельта-функции Дирака
- Дельта-функция Дирака (δ-распределение) — обобщенная функция, равная нулю везде, кроме нулевой точки, и интеграл которой по всей действительной прямой равен единице.
- Дельта-функция используется для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов.
-
История и мотивация
- Дельта-функция была введена Полем Дираком в 1927 году.
- Джозеф Фурье и Огюстен Коши внесли значительный вклад в развитие теории, связанной с дельта-функцией.
- Дельта-функция используется для упрощения уравнений и моделирования мгновенных процессов.
-
Математическая строгость
- Дельта-функция не является обычной функцией, а требует применения теории измерений или теории распределений.
- Лоран Шварц разработал теорию распределений, где дельта-функция определяется как линейная форма.
-
Применение в физике и технике
- Дельта-функция применяется в физике и технике для моделирования точечных масс, мгновенных импульсов и других абстракций.
- Пример: расчет динамики удара по бильярдному шару с помощью дельта-функции.
-
Ограничения и проблемы
- Дельта-функция не имеет строгого математического определения, что вызывает проблемы в классической интерпретации.
- Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье и формальное построение дельта-функции Дирака.
-
Определение дельта-функции
- Дельта-функция равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна.
- Интеграл от дельта-функции равен 1.
- Дельта-функция не является функцией в традиционном смысле.
-
Мера Дирака
- Мера Дирака принимает подмножество A действительной прямой R и возвращает δ(A) = 1, если 0 ∈ A, и δ(A) = 0 в противном случае.
- Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет ∫−∞∞f(x)δ(dx) = f(0) для всех непрерывных компактно поддерживаемых функций f.
- Мера δ не является абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега.
-
Вероятностная мера
- Дельта-мера характеризуется кумулятивной функцией распределения H(x) = 1 при x ≥ 0 и 0 при x < 0.
- Интегрирование дельта-функции по непрерывной функции может быть понято как интеграл Римана-Стилтьеса.
- Все высшие моменты δ равны нулю.
-
Дистрибутив
- Дельта-функция является линейным функционалом в пространстве тестовых функций.
- Дельта-распределение нулевого порядка с компактной поддержкой.
- Дельта-распределение может быть определено как производная от распределения ступенчатой функции Хевисайда.
-
Обобщения
- Дельта-функция может быть определена в n-мерном евклидовом пространстве как мера.
- Дельта-функция также может быть определена как распределение на любом множестве.
- Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x0 определяется как распределение для всех компактно поддерживаемых гладких функций на M.
-
Свойства
- Дельта-функция удовлетворяет свойству масштабирования для ненулевого скаляра α.
- Дельта-функция представляет собой равномерное распределение (симметрию).
-
Основные свойства дельта-функции
- Дельта-функция равна нулю при x = 0.
- Дельта-функция удовлетворяет свойству отсеивания: интеграл от функции, умноженной на дельта-функцию, равен значению функции в заданной точке.
- Дельта-функция может быть составлена с помощью гладкой функции g: интеграл от функции, умноженной на дельта-функцию, равен интегралу от функции, умноженной на g(x).
-
Свойства в n измерениях
- Дельта-функция в n-мерном пространстве удовлетворяет свойству масштабирования: δ(αx) = |α|^-nδ(x).
- Дельта-функция инвариантна при отражении или повороте.
- Дельта-функция может быть определена с помощью функции би-Липшица g: интеграл от функции, умноженной на δ(g(x)), равен интегралу от функции, умноженной на g(x).
-
Преобразование Фурье
- Дельта-функция имеет четко определенное преобразование Фурье: δ^(ξ) = 1.
- Свертка дельта-функции с умеренным распределением равна самому распределению.
- Обратное преобразование Фурье для f(θ) = 1 является дельта-функцией.
-
Применение в обработке сигналов
- Дельта-функция используется для вычисления импульсной характеристики систем.
- Импульсная характеристика может быть вычислена с любой желаемой точностью.
-
Преобразование Фурье и Лапласа
- Преобразование Фурье умеренного распределения f(t) = e^i2πξ1t является f^ (ξ2) = δ(ξ1 – ξ2).
- Преобразование Лапласа дельта-функции равно e^sα.
-
Производные дельта-функции
- Производная дельта-функции δ’ определяется как δ'[φ] = −φ'(0).
- k-я производная δ(k) определяется аналогично распределению.
- Первая производная δ’ является пределом разностных коэффициентов.
-
Свойства производных
- δ'(-x) = −δ’ (x), xδ’ (x) = −δ(x).
- Свертка δ’ с функцией f равна f’.
-
Дельта-распределение в многомерных пространствах
- Дельта-распределение с центром в точке a определяется как δa[φ] = φ(a).
- α-я производная ∂αδa задается как (−1)^|α|∂αφ(x)|x=a.
-
Представления дельта-функции
- Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций ηε.
- ηε слабо сходится к δ в смысле меры.
-
Приближения к тождеству
- ηε строится как ε-1η(x/ε).
- ηε сходится к δ в смысле средней сходимости.
- Дополнительные условия для ηε необходимы для поточечной сходимости.
-
Вероятностные соображения
- В контексте теории вероятностей η1 должно быть положительным.
-
Свертка с распределением вероятностей
- Свертка с распределением вероятностей не приводит к превышению или занижению значений.
- Выходные данные находятся между максимумом и минимумом входной функции.
- Приближение к тождеству быстрее сходится к дельта-функции при η с нулевым средним и небольшими высшими моментами.
-
Полугруппы свертки
- Полугруппы свертки удовлетворяют условию ηε∗ηδ = ηε+δ для всех ε, δ > 0.
- Полугруппы свертки в L1 образуют зарождающуюся дельта-функцию.
- Полугруппы возникают как фундаментальные решения или функции Грина для эллиптических или параболических уравнений.
-
Тепловое ядро
- Тепловое ядро ηε(x) = 1/√2πεe−x2/2ε представляет температуру в бесконечном проводе.
- В теории вероятностей ηε(x) — нормальное распределение дисперсии ε и среднего значения 0.
- В многомерном евклидовом пространстве ηε = 1/(2πε)n/2e−x⋅x/2ε.
-
Ядро Пуассона
- Ядро Пуассона ηε(x) = 1/πIm{1/x−iε} = 1/πεε2+x2 = 1/2π∫−∞∞e−iξx−|εξ|dξ.
- Представляет электростатический потенциал в полубесконечной пластине.
- Эволюционирует по уравнению ∂u/∂t = −(−∂2/∂x2)1/2u(t,x).
-
Колебательные интегралы
- В гиперболических уравнениях возникают дельта-функции, являющиеся колебательными интегралами.
- Пример: масштабируемая функция Эйри ε−1/3Ai(xε−1/3).
- Другие примеры: функция sinc и функция Бесселя.
-
Разложение по плоской волне
- Дельта-функцию можно разложить на плоские волны для решения линейных дифференциальных уравнений.
- Разложение предложено Иоганном Радоном и развито Фрицем Джоном.
- Формула для разложения: δ(x) = Δx(n+k)/2∫Sn−1g(x⋅ξ)dωξ.
-
Интеграл и преобразование Радона
- Интеграл в правой части равен cnΔx(n+1)/2∫Sn-1dωξ∫-∞∞|p|Rφ(ξ, p+x⋅ξ)dp.
- Rφ(ξ, p) – преобразование Радона для φ.
-
Разложение плоской волны
- δ(x) = (n-1)!/(2πi)n∫Sn-1(x⋅ξ)−n dωξ для четных n и 1/(2πi)n-1∫Sn-1δ(n-1)(x⋅ξ) dωξ для нечетных n.
-
Ядра Фурье
- n-я частичная сумма ряда Фурье функции f периода 2π определяется сверткой с ядром Дирихле.
- Ядро Дирихле стремится к кратности дельта-функции при N → ∞.
- Метод суммирования по Чезаро приводит к ядру Фейера, которое также стремится к дельта-функции.
-
Теория Гильбертова пространства
- Дельта-распределение Дирака – это плотно определенный неограниченный линейный функционал в L2.
- В пространствах Соболева дельта-функция является ограниченным линейным функционалом.
-
Пространства голоморфных функций
- Дельта-функция вводится с помощью интегральной формулы Коши.
- В комплексном анализе дельта-функция представлена интегралом Коши.
-
Разрешения проблемы идентичности
- Полный ортонормированный базисный набор функций {φn} позволяет выразить вектор f как f = ∑n=1∞αnφn.
- В L2(D) выражение для f может быть переписано как f(x) = ∑n=1∞∫D(φn(x)φn∗(ξ))f(ξ)dξ.
-
Бесконечно малые дельта-функции
- Коши использовал бесконечно малую величину α для записи единичного импульса δα.
-
Определение бесконечно малой величины
- Коши определил бесконечно малую величину в 1827 году.
- Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым величинам.
-
Дельта-функция Дирака
- Дельта-функция Дирака задается как действительная функция, удовлетворяющая условию ∫ F(x)δ(x)dx = F(0).
- Гребень Дирака используется в цифровой обработке сигналов и анализе сигналов с дискретным временем.
-
Теорема Сохоцкого–Племеля
- Связывает дельта-функцию с распределением p.v. 1/x.
- Формула Сохоцкого утверждает, что limε→0+ 1/x±iε = p.v. 1/x∓iπδ(x).
-
Связь с дельтой Кронекера
- Дельта Кронекера удовлетворяет свойству просеивания.
- Дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания аналогично дельта Кронекера.
-
Приложения в теории вероятностей
- Используется для представления дискретного распределения.
- Используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины.
- Используется для представления локального времени диффузионного процесса.
-
Приложения в квантовой механике
- Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности обнаружения частицы.
- Дельта-функция полезна для представления собственных функций гамильтониана.
- Обобщенные собственные функции оператора позиционирования задаются как δ(x-y).
- Дельта-функция также используется в моделях дельта-потенциала для одиночной и двойной потенциальной ямы.
-
Использование дельта-функции в строительной механике
- Дельта-функция используется для описания переходных нагрузок и точечных нагрузок.
- Основное уравнение системы масса-пружина с внезапным импульсом силы записывается с использованием дельта-функции.
-
Уравнение статического отклонения тонкой балки
- Уравнение Эйлера-Бернулли определяет статическое отклонение тонкой балки.
- Распределение нагрузки при точечной силе записывается с использованием дельта-функции.
-
Интегрирование дельта-функции
- Интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой функции Хевисайда.
- Статический прогиб тонкой балки описывается набором кусочных полиномов.
-
Точечные моменты и дельта-функции
- Точечные моменты могут быть представлены производной дельта-функции.
- Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно-полиномиальному отклонению.