Оглавление
Продукт Moyal
-
Определение и исторический контекст
- Продукт Мойала – это ассоциативное, некоммутативное произведение на функции в фазовом пространстве, названное в честь Хосе Энрике Мойала.
- Продукт был представлен Германом Вейлем и Хилбрандом Дж. Груневольдом в 1946 году, и его иногда называют продуктом Вейля-Груневольда.
- Хосе Энрике Мойал, возможно, не знал о продукте в своей переписке с Дираком и не использовал его в своих работах.
- Название продукта в честь Мойала появилось в 1970-х годах.
-
Определение и свойства
- Продукт Мойала для функций на
- R
- 2
- n
- {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
- имеет вид
- f
- ⋆
- g
- =
- +
- O
- (
- ℏ
- )
- .
- Продукт Мойала деформирует скобку Пуассона, что приводит к деформации поточечного произведения.
- Единица алгебры Мойала также является тождеством.
- Комплексное сопряжение является антилинейным антиавтоморфизмом.
- Если функции выражены в действительных числах, то некоторые условия могут быть исключены.
- Если ограничиться полиномиальными функциями, то продукт Мойала изоморфен алгебре Вейля An.
-
Применение на многообразиях
- На симплектических многообразиях можно использовать продукт Мойала, если выбрать постоянные координаты и бивектор Пуассона.
- Для работы на всем многообразии требуется симплектическое соединение без кручения.
- Формула квантования Концевича обобщает продукт Мойала на пуассоновые многообразия.
-
Примеры и внутренние интегралы
- Продукт Мойала используется для сложения гауссианов в двумерном евклидовом фазовом пространстве.
- В различных представлениях группы Гейзенберга продукт Мойала играет ключевую роль в описании операторов рождения и уничтожения.
- В фазовом пространстве можно опустить одно звездообразное произведение, что приводит к простому умножению.
Полный текст статьи: