Производный тест
-
Определение и применение теста на вторую производную
- Тест на вторую производную используется для определения типа стационарной точки функции.
- Тест основан на вычислении второй производной функции и сравнении ее с нулем.
- Существуют четыре возможных результата: локальный максимум, локальный минимум, строго убывающая точка перегиба, строго возрастающая точка перегиба.
-
Математический анализ теста
- Тест на вторую производную идентичен частному случаю теста на производную более высокого порядка при n = 1.
- Если все производные до n-й включительно равны нулю, а (n + 1)-я отлична от нуля, то можно определить тип стационарной точки.
-
Пример использования теста
- Для функции
- f
- (
- x
- )
- =
- 6
- +
- 5
- {\displaystyle f(x)=x^{6}+5}
- при
- 0
- {\displaystyle x=0}
- все производные до шестой равны нулю, а шестая положительна, что указывает на локальный минимум.
-
Обобщение на многомерный случай
- Тест на вторую производную обобщается для функций с несколькими переменными, используя собственные значения матрицы Гессе.
- Если все собственные значения положительны, то точка является локальным минимумом, если отрицательны — локальным максимумом, а если некоторые положительны, а некоторые отрицательны, то точка является седловой.
-
Вариации и рекомендации
- Существуют различные варианты теста, включая тест на вогнутость и тест на вторую производную при сходимости.
- Ссылки на дополнительные ресурсы и внешние ссылки приведены в статье.
Полный текст статьи: