Оглавление
- 1 Пространство последовательностей
- 1.1 Пространство последовательностей
- 1.2 Основные пространства последовательностей
- 1.3 Топология и нормы
- 1.4 Конвергенция и сходимость
- 1.5 Пространство всех конечных последовательностей
- 1.6 Идентификация последовательностей
- 1.7 Пространства последовательностей
- 1.8 Свойства ℓp-пространств и c0
- 1.9 Другие свойства ℓp-пространств
- 1.10 ℓp-пространства и их свойства
- 1.11 Свойства ℓ1-пространств
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Пространство последовательностей
Пространство последовательностей
-
Пространство последовательностей
- Векторное пространство, элементами которого являются бесконечные последовательности действительных или комплексных чисел
- Функциональное пространство, элементами которого являются функции от натуральных чисел до поля K
- Множество всех функций отождествляется с множеством всех возможных бесконечных последовательностей
-
Основные пространства последовательностей
- ℓp-пространства: суммируемые последовательности p-степени с p-нормой
- Пространства сходящихся последовательностей: c, c0, c00
- Пространство всех конечных последовательностей: K∞
-
Топология и нормы
- Пространство последовательностей KN наделено топологией продукта, но не допускает непрерывных норм
- ℓp-пространства являются банаховыми пространствами с нормой ‖⋅‖p
- Пространства сходящихся последовательностей c и c0 также являются банаховыми пространствами
-
Конвергенция и сходимость
- Сходящаяся последовательность: limn→∞xn существует
- Нулевая последовательность: limn→∞xn = 0
- Пространство конечных нулевых последовательностей c00 не является банаховым пространством
-
Пространство всех конечных последовательностей
- K∞ как векторное пространство равно c00
- K∞ наделено топологией τ∞, которая является когерентной и строго тоньше топологии подпространства
- Конvergence в τ∞ определяется через изображения включений
-
Идентификация последовательностей
- Последовательности (x1, …, xn) и (x1, …, xn, 0, 0, 0, …) идентичны.
- Топология подпространства, фактор-топология и евклидова топология совпадают.
- (K∞, τ∞) является LB-пробелом.
-
Пространства последовательностей
- Пространство ограниченных рядов (bs) изометрически изоморфно ℓ∞.
- Подпространство cs изометрически изоморфно c.
- Пространство Φ (c00) плотно во многих пространствах последовательностей.
-
Свойства ℓp-пространств и c0
- Пространство θ2 является единственным гильбертовым пространством среди θp.
- Каждый ℓp является строгим подмножеством ℓs при p < s.
- ℓp не изометрически изоморфен ℓs при p ≠ s.
- ℓq изометрически изоморфен (ℓp)∗ при q = гельдеровское сопряжение p.
- Пространство c0 является замкнутым подпространством ℓ∞ и имеет двойственное значение θ1.
-
Другие свойства ℓp-пространств
- Пространства θp и c0 имеют канонический безусловный базис Шаудера.
- Пространство θ1 обладает свойством Шура.
- Пространства θp могут быть встроены во многие банаховы пространства.
-
ℓp-пространства и их свойства
- Пространства ℓp увеличиваются в p.
- Оператор включения ℓp в ℓq является непрерывным.
- Пространство θ2 изоморфно всем сепарабельным бесконечномерным гильбертовым пространствам.
-
Свойства ℓ1-пространств
- Последовательность элементов в ℓ1 сходится тогда и только тогда, когда она слабо сходится.
- Компактность, слабая компактность и ограниченность, замкнутость и равномалость на бесконечности эквивалентны.