Расширение HNN
-
Определение HNN-расширения
- HNN-расширение встраивает группу G в другую группу G’ таким образом, что две изоморфные подгруппы G сопряжены в G’.
- Группа G’ называется HNN-расширением G относительно изоморфизма α.
-
Ключевые свойства
- HNN-расширение содержит все образующие и соотношения из представления для G.
- Существует естественный гомоморфизм из G в HNN-расширение, который является инъективным.
- Две изоморфные подгруппы G всегда сопряжены в HNN-расширении.
-
Лемма Бриттона
- Лемма Бриттона утверждает, что если w = 1 в HNN-расширении, то либо n = 0 и g0 = 1 в G, либо n > 0 и для некоторого i выполняется одно из условий: ei = 1, ei+1 = -1, gi ∈ H, или ei = -1, ei+1 = 1, gi ∈ K.
- В альтернативной форме: если w не содержит подстрок вида tht−1 и t−1kt, то w ≠ 1 в HNN-расширении.
-
Следствия из леммы Бриттона
- Естественный гомоморфизм из G в HNN-расширение инъективен.
- Каждый элемент конечного порядка в HNN-расширении сопряжен с элементом G.
- Каждая конечная подгруппа из HNN-расширения сопряжена с конечной подгруппой G.
- Если G содержит элемент g, не содержащийся ни в H, ни в K, то HNN-расширение содержит подгруппу, изоморфную свободной группе второго ранга.
-
Приложения и обобщения
- В алгебраической топологии HNN-расширения описывают фундаментальную группу топологического пространства, склеенного с собой.
- В теории групп Басса–Серра HNN-расширения используются для построения фундаментальных групп графов групп.
- HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве теоремы о вложении Хигмана и теоремы Новикова–Буна.
- Идея расширения HNN была распространена на теорию алгебры Ли.