Оглавление [Скрыть]
Самый большой маленький многоугольник
-
Самый большой маленький многоугольник
- Для числа n это n-сторонний многоугольник с диаметром 1 и максимальной площадью среди всех n-угольников с диаметром 1.
- При n = 4 решение представляет собой квадрат, при нечетных n – правильный многоугольник, при четных n – неправильный.
-
Четырехугольники
- При n = 4 площадь определяется формулой S = pq sin(θ)/2.
- Наибольшая площадь достигается при p = q = 1 и sin(θ) = 1, что соответствует квадрату.
- Бесконечно много других ортодиагональных и равноугольных четырехугольников также имеют диаметр 1 и ту же площадь.
-
Нечетное количество сторон
- При нечетных n правильный многоугольник имеет наибольшую площадь.
-
Четное количество сторон
- При n = 6 оптимальное решение не является правильным.
- Решение опубликовано в 1975 году Рональдом Грэмом и имеет форму неправильного равноугольного пятиугольника с тупым равнобедренным треугольником.
- Площадь составляет 0,674981….
- Грэм предположил, что оптимальное решение для четных n состоит из равноугольного (n − 1) угольника с равнобедренным треугольником.
- В случае n = 8 это подтверждено компьютерным расчетом.
- Полная гипотеза Грэма доказана в 2007 году Фостером и Сабо.