Серия подгрупп

• Основы теории групп

  • Ряды подгрупп упрощают изучение групп, рассматривая более простые подгруппы. 
  • Ряды подгрупп являются важным инвариантом групп. 

• Определение и свойства

  • Нормальный ряд — это последовательность нормальных подгрупп, где каждая следующая является нормальной подгруппой предыдущей. 
  • Субнормальный ряд — это последовательность подгрупп, где каждая следующая является нормальной подгруппой предыдущей и сама является нормальной подгруппой. 
  • Длина ряда — это количество строгих включений между соседними членами. 
  • Если ряд не повторяется, то его длина равна n. 

• Классификация и примеры

  • Нетеровы группы — это группы с восходящей цепочкой подгрупп. 
  • Артиновые группы — это группы с нисходящей цепочкой подгрупп. 
  • Существуют примеры максимальных рядов без повторений, таких как композиционный ряд и главный ряд. 

• Уточнение рядов и функциональные серии

  • Уточнение ряда — это другой ряд, содержащий все члены исходного ряда. 
  • Функциональные серии определены через операции и подгруппы, такие как центр и коммутатор. 

• Бесконечные и трансфинитные ряды

  • Бесконечные ряды подгрупп могут быть определены с использованием упорядоченных множеств. 
  • Трансфинитные ряды подгрупп могут быть определены с использованием трансфинитной рекурсии. 

• Сравнение рядов

  • Два субнормальных ряда могут быть эквивалентны или изоморфны. 
  • Существование верхнего предела субнормальных рядов является теоремой Шрайера. 

• Разрешимые и нильпотентные группы

  • Разрешимая группа — это группа с субнормальным рядом, где все факторные группы являются абелевыми. 
  • Нильпотентный ряд — это ряд, где последовательные частные являются нильпотентными.