Оглавление [Скрыть]
Серия подгрупп
-
Основы теории групп
- Ряды подгрупп упрощают изучение групп, рассматривая более простые подгруппы.
- Ряды подгрупп являются важным инвариантом групп.
-
Определение и свойства
- Нормальный ряд – это последовательность нормальных подгрупп, где каждая следующая является нормальной подгруппой предыдущей.
- Субнормальный ряд – это последовательность подгрупп, где каждая следующая является нормальной подгруппой предыдущей и сама является нормальной подгруппой.
- Длина ряда – это количество строгих включений между соседними членами.
- Если ряд не повторяется, то его длина равна n.
-
Классификация и примеры
- Нетеровы группы – это группы с восходящей цепочкой подгрупп.
- Артиновые группы – это группы с нисходящей цепочкой подгрупп.
- Существуют примеры максимальных рядов без повторений, таких как композиционный ряд и главный ряд.
-
Уточнение рядов и функциональные серии
- Уточнение ряда – это другой ряд, содержащий все члены исходного ряда.
- Функциональные серии определены через операции и подгруппы, такие как центр и коммутатор.
-
Бесконечные и трансфинитные ряды
- Бесконечные ряды подгрупп могут быть определены с использованием упорядоченных множеств.
- Трансфинитные ряды подгрупп могут быть определены с использованием трансфинитной рекурсии.
-
Сравнение рядов
- Два субнормальных ряда могут быть эквивалентны или изоморфны.
- Существование верхнего предела субнормальных рядов является теоремой Шрайера.
-
Разрешимые и нильпотентные группы
- Разрешимая группа – это группа с субнормальным рядом, где все факторные группы являются абелевыми.
- Нильпотентный ряд – это ряд, где последовательные частные являются нильпотентными.
Полный текст статьи: