Оглавление [Скрыть]
- 1 Сеть (математика)
- 1.1 Определение сетей
- 1.2 История и терминология
- 1.3 Направленные множества
- 1.4 Пределы действия сетей
- 1.5 Точки скопления сетей
- 1.6 Подсети
- 1.7 Ультрасети
- 1.8 Сети Коши
- 1.9 Закрытые множества и замыкание
- 1.10 Открытые множества и характеристики топологий
- 1.11 Непрерывность
- 1.12 Компактность
- 1.13 Кластерные и предельные точки
- 1.14 Определение сетей
- 1.15 Свойства сетей
- 1.16 Связь с последовательностями
- 1.17 Применение сетей
- 1.18 Пример с функциями
- 1.19 Частичный порядок
- 1.20 Определение и сходимость сетей
- 1.21 Топология подпространства
- 1.22 Соседские системы
- 1.23 Пределы в декартовом произведении
- 1.24 Теорема Тихонова и аксиома выбора
- 1.25 Ограничить превосходство/уступчивость
- 1.26 Предельный уровень сети действительных чисел
- 1.27 Метрические пространства
- 1.28 Функции и сети
- 1.29 Функции из хорошо упорядоченных множеств
- 1.30 Полный текст статьи:
- 2 Сеть (математика)
Сеть (математика)
-
Определение сетей
- Сеть — это функция, областью действия которой является направленное множество.
- Кодовой областью обычно является топологическое пространство.
- Сети обобщают концепцию последовательности в метрическом пространстве.
-
История и терминология
- Концепция сети введена Э. H. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году.
- Термин “сеть” введен Джоном Л. Келли.
- Соответствующая концепция фильтра разработана Анри Картаном в 1937 году.
-
Направленные множества
- Направленное множество — это непустое множество с предварительным заказом.
- Предварительный заказ должен быть направлен вверх, что означает существование элемента, большего или равного каждому элементу.
- Направленные множества могут содержать самый большой элемент.
-
Пределы действия сетей
- Сеть сходится к точке, если для каждого элемента существует элемент, больший или равный ему, такой, что значение сети в этом элементе равно точке.
- Предел сети обозначается как lim x∙ → x в X.
- В хаусдорфовом пространстве каждая сеть имеет не более одного предела.
-
Точки скопления сетей
- Сеть часто или в конечном счете находится в наборе, если для каждого элемента существует элемент, больший или равный ему, такой, что значение сети в этом элементе принадлежит набору.
- Точка x ∈ X называется точкой накопления сети, если сеть часто или в конечном счете находится в каждом районе от x.
-
Подсети
- Подсеть сети — это сеть, определенная на конечном подмножестве исходного множества.
- Карта, сохраняющая порядок, называется гомоморфизмом порядка.
- Если x ∈ X является точкой кластера подсети, то x также является точкой кластера исходной сети.
-
Ультрасети
- Сеть называется универсальной сетью, если она в конечном счете находится в каждом подмножестве X.
- Каждая постоянная сеть является ультрасетью.
- Каждая подсеть ультрасети также является ультрасетью.
-
Сети Коши
- Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши на однородные пространства.
- Сеть Коши сходится к точке, если для каждого окружения существует элемент, такой, что значения сети в этом элементе принадлежат окружению.
- Топологическое векторное пространство называется полным, если каждая сеть Коши сходится к точке.
-
Закрытые множества и замыкание
- Подмножество S замкнуто в X тогда и только тогда, когда каждая предельная точка сети в S содержится в S.
- Если S является любым подмножеством, замыкающим S, это множество точек x ∈ X с lim a ∈ A s ∙ → x для некоторой сети (s a ) a ∈ A в S.
-
Открытые множества и характеристики топологий
- Подмножество S открыто тогда и только тогда, когда в сети нет X ∖ S, сходящейся к точке S.
- Подмножество S открыто тогда и только тогда, когда каждая сеть, сходящаяся к элементу S, в конечном счете содержится в S.
-
Непрерывность
- Функция f: X → Y непрерывна в точке x тогда и только тогда, когда для каждой сети x ∙ = (x a ) a ∈ A в X, lim x ∙ → x в X подразумевает lim f(x ∙) → f(x) в Y.
- Если f непрерывна в x, то для каждого открытого района U от f(x), его прообраз под f, V, является соседством x.
- Если x ∙ → x, то lim (f(x a )) a ∈ A → f(x), и это направление хорошо зарекомендовало себя.
-
Компактность
- Пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть x ∙ = (x a ) a ∈ A в X имеет подсеть с ограничением в X.
- Если X компактно, то для каждой сети x ∙ = (x a ) a ∈ A, ⋂ a ∈ A cl(E a ) ≠ ∅, где E a = {x b : b ≥ a}.
- Если каждая сеть в X имеет конвергентную подсеть, то для каждой открытой обложки для X без конечного подпокрытия, существует сеть (x C ) C ∈ D, которая не имеет конвергентной подсети.
-
Кластерные и предельные точки
- Множество точек кластера сети равно множеству границ ее сходящихся подсетей.
- Если y является пределом подсети из x ∙, то y ∈ cl(x ∙).
-
Определение сетей
- Сеть — это набор пар (U, a), где U — открытый район точки y в X, а a — элемент A.
- Сеть сходится к y, если все её подсети имеют ограничения.
- Сеть имеет ограничение тогда и только тогда, когда все её подсети имеют ограничения.
-
Свойства сетей
- В хаусдорфовом пространстве предел сети уникален.
- В нехаусдорфовом пространстве сеть может иметь два чётких ограничения.
- Сети эквивалентны фильтрам в смысле сходимости.
-
Связь с последовательностями
- Сети являются обобщением последовательностей.
- Последовательности — это сети, определённые на натуральных числах.
- Сети могут быть обозначены аналогично последовательностям.
-
Применение сетей
- Сети полезны для доказательства теорем общей топологии.
- Сети позволяют обобщать понятия, которые не могут быть выражены с помощью последовательностей.
- Сети кодируют информацию о функциях между топологическими пространствами.
-
Пример с функциями
- Сети позволяют доказать, что постоянная функция 0 является пределом множества функций, равных 1 везде, за исключением конечного числа точек.
- Сети необходимы, так как последовательности не могут привести к желаемому результату.
-
Частичный порядок
- Частичный порядок на множестве функций позволяет создать направленный набор.
- Частичный порядок изменяет идентификационную карту, делая её направленной.
-
Определение и сходимость сетей
- Сеть в E сходится к 0 в R^R, если 0 относится к закрытию E в R^R.
- Подсеть последовательности может быть последовательностью, но не подпоследовательностью.
- В последовательном пространстве каждая сеть индуцирует последовательность.
-
Топология подпространства
- Сходимость сети зависит от топологического подпространства S, состоящего из x и точек сети.
- Сходимость сети означает, что значения x_a приближаются к x для достаточно больших a.
-
Соседские системы
- Сходимость сети в топологическом пространстве означает, что точки сети находятся в уменьшающихся окрестностях x.
- Сеть сходится к x тогда и только тогда, когда это происходит в каждой окрестности x.
-
Пределы в декартовом произведении
- Сеть в декартовом произведении имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.
- Сходимость сети в декартовом произведении означает, что каждая проекция сходится к одной и той же точке.
-
Теорема Тихонова и аксиома выбора
- Если для каждого i существует L_i, такой что π_i(f_∙) → L_i, то кортеж L = (L_i) будет пределом f_∙ в X.
- Аксиома выбора может быть необходима для вывода о существовании кортежа L.
- Теорема Тихонова утверждает, что произведение компактных пространств является компактным.
-
Ограничить превосходство/уступчивость
- Верхний и нижний пределы сети действительных чисел определяются аналогично пределам последовательностей.
- Некоторые авторы работают с более общими структурами, такими как полные решетки.
-
Предельный уровень сети действительных чисел
- Предельная поддержка суммы двух сетей меньше суммы предельных поддержек каждой сети.
- Интеграл Римана можно интерпретировать как предел сети сумм Римана.
-
Метрические пространства
- Сеть сходится к точке в метрическом пространстве, если расстояние между сетью и точкой стремится к нулю.
- В нормированных пространствах сеть сходится, если норма разности между сетью и точкой стремится к нулю.
-
Функции и сети
- Функция с доменом, ограниченным набором, может быть интерпретирована как сеть.
- Сеть сходится в подмножество топологического пространства, если существует точка, удовлетворяющая условию.
- Сеть часто находится в подмножестве, если для каждого элемента существует точка, удовлетворяющая условию.
-
Функции из хорошо упорядоченных множеств
- Функция из хорошо упорядоченного множества в топологическое пространство представляет собой сеть.
- Сеть сходится, если для каждого района от точки сеть часто находится в этом районе.
- Точка является точкой скопления сети, если для каждого района сеть часто находится в этом районе.