Оглавление
Сигел ноль
-
Определение и история нулей Зигеля
- Нули Зигеля – это нули дзета-функции Дирихле, связанные с квадратичными полями.
- Нули Зигеля были впервые обнаружены Зигелем в 1891 году и с тех пор активно изучаются.
-
Теорема Зигеля
- Теорема Зигеля утверждает, что если дзета-функция Дирихле имеет нуль в точке s = 1, то существует квадратичное поле с дискриминантом D, такое что L(1, χD) имеет нуль в этой же точке.
-
Теорема Сигеля
- Теорема Сигеля обобщает теорему Зигеля, утверждая, что если дзета-функция Дирихле имеет нуль в точке s = 1, то существует квадратичное поле с дискриминантом D, такое что L(s, χD) имеет нуль в этой же точке.
-
Оценки и доказательства
- Доказательства Ландау и Сигеля не дают явного способа вычисления C(ε), что делает их неэффективными.
- Тацудзава улучшил оценку Сигеля, показав, что для фиксированного ε существует не более одного фундаментального дискриминанта, где |D| > e1/ε.
-
Связь с квадратичными полями
- Нули Зигеля тесно связаны с арифметикой квадратичных полей, что проявляется в аналитической формулировке квадратичной взаимности.
- Оценки для нулей Зигеля могут быть преобразованы в оценки для идеальных классов и чисел корней из единицы в квадратичных полях.
-
Квадратичные явления
- Нули Зигеля ограничиваются квадратичными расширениями, и для неабелевых случаев требуются более сложные L-функции Артина.
- Для случая с отрицательным дискриминантом известны нижние границы для идеальных классов, а также эквивалентности гипотезы abc и “отсутствие нулей Зигеля”.
-
Сложное умножение
- Существует эквивалентность “без нулей Зигеля” для отрицательных дискриминантов, связанная с верхними границами высот сингулярных модулей.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.