Оглавление
Сигнатурная теорема Хирцебруха
-
Сигнатурная теорема Хирцебруха
- Используется в дифференциальной топологии
- Выражает подпись гладкого замкнутого ориентированного многообразия через L-род
- Доказана Фридрихом Хирцебрухом в 1954 году
-
L-род и его свойства
- L-род — это род мультипликативной последовательности многочленов
- Первые два L-многочлена: L1 = 1/3p1, L2 = 1/45(7p2 – p1^2)
- Дополнительные L-полиномы можно найти в [2] или OEIS: A237111
-
Связь с классами Понтрягина
- Классы Понтрягина p(M) касательного расслоения 4n-мерного многообразия M позволяют получить L-классы
- Хирцебрух показал, что n-й L-класс M равен сигнатуре M
-
Доказательство сигнатурной теоремы
- Рене Том доказал, что сигнатура задается линейной комбинацией чисел Понтрягина
- Хирцебрух нашел точную формулу для этой линейной комбинации, введя понятие рода мультипликативной последовательности
- Рационально ориентированное кольцо кобордизмов Ω∗SO⊗Q равно полиномиальной алгебре, порожденной классами ориентированных кобордизмов о четномерных комплексных проективных пространствах
-
Обобщения и рекомендации
- Теорема о сигнатуре является частным случаем теоремы об индексе Атии–Сингера для оператора подписи
- Аналитический индекс оператора сигнатуры равен сигнатуре многообразия, а его топологический индекс равен L-роду многообразия
- Согласно теореме об индексе Атии–Сингера, они равны