Сильно компактный кардинал
-
Определение сильно компактного кардинала
- Сильно компактный кардинал — это большой кардинал, для которого каждый κ-полный фильтр расширяется до κ-полного ультрафильтра.
- Сильная компактность связана с бесконечной логикой, где операторы могут принимать бесконечно много операндов.
- Кардинал κ является сильно компактным, если его логика удовлетворяет аналогу компактности финитарной логики.
-
Ослабление свойства сильной компактности
- Можно ослабить требование сохранения компактности до λ-компактности, если исходная совокупность утверждений имеет мощность ниже λ.
-
Связь с другими понятиями
- Сильная компактность подразумевает измеримость и суперкомпактность.
- Существуют кардиналы, которые являются сильно компактными, но не суперкомпактными.
- Прочность сильной компактности выше, чем у кардинала Вудина.
-
Гипотезы и доказательства
- Некоторые теоретики множеств считают, что существование сильно компактного кардинала эквивалентно существованию суперкомпактного кардинала.
- Доказательство этой гипотезы требует разработки канонической внутренней модельной теории для суперкомпактных кардиналов.
-
Дополнительные свойства
- Джех получил вариант свойства дерева для недоступных кардиналов, который выполняется только для сильно компактных кардиналов.
- Расширяемость является аналогом сильной компактности второго порядка.