Оглавление [Скрыть]
- 1 Слабая топология
- 1.1 Слабая топология
- 1.2 История и терминология
- 1.3 Слабая и сильная топологии
- 1.4 Каноническая двойственность
- 1.5 Слабые и некачественные* топологии
- 1.6 Слабая сходимость
- 1.7 Свойства слабой топологии
- 1.8 Теорема Банаха–Алаоглу
- 1.9 Топологическое двойственное пространство
- 1.10 Отделимость и метризуемость
- 1.11 Примеры
- 1.12 Распределения
- 1.13 Слабая топология, индуцированная алгебраической двойственностью
- 1.14 Топологии операторов
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Слабая топология
Слабая топология
-
Слабая топология
- Альтернативный термин для исходных топологий в топологических векторных пространствах.
- Используется для обозначения начальной топологии относительно непрерывной двойственности.
- Подмножества и функции называются слабо замкнутыми и непрерывными соответственно.
-
История и терминология
- Слабая сходимость использовалась с начала 1900-х годов.
- Банах ввел слабую сходимость для нормированных пространств в 1929 году.
- Слабая топология по-французски называется topologie faible, по-немецки – schwache Topologie.
-
Слабая и сильная топологии
- Слабая топология локально выпукла.
- Слабая* топология является частным случаем слабой топологии.
- Слабая* топология индуцируется каноническим спариванием.
-
Каноническая двойственность
- Слабая топология на X относительно Y определяется через каноническое спаривание.
- Слабая топология на Y относительно X также определяется через каноническое спаривание.
-
Слабые и некачественные* топологии
- Слабая топология TVS X является начальной топологией по отношению к семейству X*.
- Слабая* топология на X* является слабой топологией, индуцированной изображением T.
-
Слабая сходимость
- Сеть в X сходится в слабой топологии, если сходится поточечно для всех ϕ ∈ X*.
- Слабая сходимость иногда называется простой сходимостью или поточечной сходимостью.
-
Свойства слабой топологии
- Слабая топология сохраняет сложение и скалярное умножение.
- Слабая топология делает X локально выпуклым.
- Слабая* топология слабее, чем слабая топология на X*.
-
Теорема Банаха–Алаоглу
- Замкнутый единичный шар в X* является слабым*-компактным.
- Замкнутый единичный шар в нормированном пространстве компактен в слабой топологии тогда и только тогда, когда X рефлексивен.
-
Топологическое двойственное пространство
- Замкнутые по норме шары компактны в слабой * топологии
- Подмножество непрерывной двойственности слабо * компактно, если оно слабо * замкнуто и ограничено нормой
- Замкнутый единичный шар в начале координат не содержит слабой окрестности 0 в бесконечномерном нормированном пространстве
-
Отделимость и метризуемость
- X отделимо тогда и только тогда, когда слабая* топология на замкнутом единичном шаре метризуема
- Слабая* топология метризуема на ограниченных нормой подмножествах X*
- Если X имеет сепарабельное двойственное пространство, то X обязательно сепарабельно
- Слабая* топология не поддается метризации на всех X* для банаховых пространств, кроме конечномерных
-
Примеры
- Сильная сходимость в гильбертовом пространстве L2(Rn) соответствует норме на L2
- Слабая сходимость требует, чтобы сходимость была для всех функций f ∈ L2 или для всех f в плотном подмножестве L2
- В гильбертовом пространстве L2(0,π) последовательность функций образует ортонормированный базис, но строгий предел не существует, а слабый предел равен нулю
-
Распределения
- Пространства распределений можно получить как сильный дуал пространства тестовых функций
- Альтернативное построение: слабое двойственное пространство тестовых функций внутри гильбертова пространства
-
Слабая топология, индуцированная алгебраической двойственностью
- Если X обладает слабой топологией, индуцированной X#, то непрерывным двойственным пространством X является X#, каждое ограниченное подмножество X содержится в конечномерном векторном подпространстве X, каждое векторное подпространство X замкнуто и имеет топологическое дополнение
-
Топологии операторов
- Пространство L(X,Y) может содержать множество различных топологий, зависящих от типа топологии в целевом пространстве Y
- Топология сильного оператора определяется полунормами, индексируемыми как x ∈ X
- Топология слабого оператора и топология слабого оператора* также существуют