Сопряженные функторы

• Определение сопряженных функторов

  • Функтор F: C → D называется сопряженным слева к G: D → C, если для каждого объекта X в C существует морфизм f: F(X) → X такой, что G(f) = idX. 
  • Функтор G: D → C называется сопряженным справа к F: C → D, если для каждого объекта Y в D существует морфизм g: Y → G(F(Y)) такой, что F(g) = idY. 

• Примеры сопряженных функторов

  • В категории абелевых групп F: Set → Grp присваивает каждой множественной группе свободную группу, а G: Grp → Set – группу с базовым набором. 
  • В категории множеств F: Set → Set присваивает каждому множеству его мощность, а G: Set → Set – множество с элементами, равными мощности множества. 

• Свойства сопряженных функторов

  • Сопряженные функторы являются обратными друг другу. 
  • Если F и G сопряжены, то существует естественный изоморфизм между HomC(F, -) и HomD(-, G). 
  • Сопряженные функторы могут быть определены через универсальные морфизмы или присоединение Hom-set. 
  • Единичное присоединение между F и G определяется через counit и единицу присоединения. 

• История и примеры сопряженных функторов

  • Идея сопряженных функторов была предложена Дэниелом Каном в 1958 году для гомологической алгебры. 
  • В теории категорий “естественность” биекции включает в себя понятие естественного изоморфизма. 
  • Примеры сопряженных функторов включают построение свободных групп и определение мощности множества. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.