Оглавление
Спектр C*-алгебры
-
Спектр C*-алгебры
- Спектр C*-алгебры A, обозначаемый Â, представляет собой множество унитарных классов эквивалентности неприводимых *-представлений A.
- Неприводимое представление π из A в гильбертовом пространстве H неприводимо, если не существует замкнутого подпространства K, отличного от H и {0}, инвариантного относительно всех операторов π(x) с x ∈ A.
- Спектр Â является топологическим пространством, аналогичным спектру кольца.
-
Примитивный спектр
- Топология Â может быть определена через примитивный спектр Prim(A), состоящий из примитивных идеалов A.
- Примитивный идеал является ядром ненулевого неприводимого *-представления.
- Множество примитивных идеалов является топологическим пространством с топологией оболочки-ядра.
-
Примеры
- Для коммутативных C*-алгебр спектр совпадает с дуальностью Гельфанда.
- Для C*-алгебры ограниченных операторов Prim(L(H)) = {I0, K}, где I0 = {0} и K = K(H) компактных операторов.
- Для конечномерных C*-алгебр спектр канонически изоморфен спектру минимальных центральных проекций с дискретной топологией.
-
Другие характеристики спектра
- Топология на Â тесно связана с концепцией слабой локализации представлений.
- Состояние f является чистым тогда и только тогда, когда связанное с ним представление nf неприводимо.
- Пространство Irrn(A) является топологическим пространством с точечно-слабой топологией.
-
Структура Макки–Бореля
- Â является борелевским пространством и может рассматриваться как стандартное борелевское пространство.
- Гипотеза Макки о том, что отделимая локально компактная группа относится к типу I тогда и только тогда, когда борелевское пространство является гладким, была доказана Глимом для сепарабельных C*-алгебр.
-
Алгебраические примитивные спектры
- Идеал алгебраически примитивен тогда и только тогда, когда он примитивен в смысле, определенном выше.
- Топология на двойственном пространстве группы C*-алгебры C*(G) называется топологией Фелла.