Оглавление
- 1 Спектр (функциональный анализ)
- 1.1 Определение спектра
- 1.2 Свойства спектра
- 1.3 Классификация точек в спектре
- 1.4 Инъективность и обратимость
- 1.5 Точечный спектр
- 1.6 Приблизительный точечный спектр
- 1.7 Дискретный спектр
- 1.8 Непрерывный спектр
- 1.9 Спектр сжатия
- 1.10 Остаточный спектр
- 1.11 Периферийный спектр
- 1.12 Необходимый спектр
- 1.13 Определение основного спектра
- 1.14 Пример оператора T
- 1.15 Пример атома водорода
- 1.16 Спектр сопряженного оператора
- 1.17 Спектры отдельных классов операторов
- 1.18 Спектр реального оператора
- 1.19 Спектр унитальной банаховой алгебры
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Спектр (функциональный анализ)
Спектр (функциональный анализ)
-
Определение спектра
- Спектр ограниченного линейного оператора — это набор комплексных чисел λ, для которых оператор T − λI не имеет теоретико-множественного обратного.
- Спектр неограниченного линейного оператора — это множество комплексных чисел λ, для которых оператор T − λI имеет ограниченное всюду определенное обратное значение.
-
Свойства спектра
- Спектр всегда является замкнутым и ограниченным подмножеством комплексной плоскости.
- Спектральный радиус r(T) — это радиус наименьшей окружности, содержащей спектр σ(T).
-
Классификация точек в спектре
- Точечный спектр σp(T) — это набор собственных значений оператора T.
- Приблизительный точечный спектр σap(T) — это набор приближенных собственных значений оператора T.
- Спектр сжатия σcp(T) — это множество комплексных чисел, для которых оператор T − λI не имеет плотного ассортимента.
- Остаточный спектр σres(T) — это множество комплексных чисел, для которых оператор T − λI не имеет плотного ассортимента, но является инъективным.
-
Инъективность и обратимость
- Оператор не является инъективным, если существует ненулевой x при T(x) = 0.
- Оператор не обратим, если существует ненулевой x при T(x) = 0.
-
Точечный спектр
- Набор собственных значений T называется точечным спектром T.
- Замыкание точечного спектра называется чистым точечным спектром.
-
Приблизительный точечный спектр
- Оператор не обратим, если не ограничен снизу.
- Приблизительный точечный спектр включает приближенные собственные значения.
-
Дискретный спектр
- Дискретный спектр — это набор нормальных собственных значений.
- Дискретный спектр является подмножеством точечного спектра.
-
Непрерывный спектр
- Непрерывный спектр — это множество λ, для которых T-λI инъективен и имеет плотный диапазон.
- Непрерывный спектр не включает остаточный спектр.
-
Спектр сжатия
- Спектр сжатия — это множество λ, для которых T-λI не имеет плотного диапазона.
-
Остаточный спектр
- Остаточный спектр — это множество λ, для которых T-λI инъективен, но не имеет плотного диапазона.
-
Периферийный спектр
- Периферийный спектр — это набор точек в спектре, модуль которых равен спектральному радиусу.
-
Необходимый спектр
- Существует пять определений необходимого спектра.
- Необходимый спектр включает точки, для которых оператор не является полуфредгольмовым, не имеет замкнутого диапазона, не является Фредгольмом, не является Фредгольмом с нулевым индексом или не является Фредгольмом с ненулевым индексом.
-
Определение основного спектра
- Основной спектр σe(A) включает все компоненты C∖σe(A), которые не пересекаются с набором разрешающих факторов C∖σ(A).
- Основной спектр также можно охарактеризовать как σ(A)∖σd(A).
-
Пример оператора T
- Оператор T: l2(Z) → l2(Z), T: ej ↦ ej-1 для j ≠ 0, T: e0 ↦ 0.
- Основной спектр T: σe(T) ⊂ D1¯.
- Для z ∈ C с |z| = 1, диапазон T-zI плотен, но не замкнут, что относится к первому типу основного спектра.
- Для z ∈ C с |z| < 1, T-zI имеет замкнутый диапазон, одномерное ядро и одномерное коядро, что z ∈ σ(T), хотя z ∉ σe(T) для 1 ≤ k ≤ 4.
- Основной спектр T: σe(T) = ∂D1 для 1 ≤ k ≤ 4.
-
Пример атома водорода
- Гамильтонов оператор атома водорода H = −Δ − Z|x| имеет дискретный спектр σd(H), который совпадает с точечным спектром σp(H).
- Результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра σcont(H) = [0, +∞), что также совпадает с основным спектром σe(H).
-
Спектр сопряженного оператора
- Для ограниченного оператора T, σr(T) ⊂ σp(T∗)¯ ⊂ σr(T) ∪ σp(T).
- Если Ran(T-λI) не плотен в X, существует ненулевое значение φ ∈ X∗, которое исчезает на Ran(T-λI).
- Если λ¯ является собственным значением T*, существует ненулевое значение φ ∈ X*, такое что (T∗-λ¯I)φ = 0.
-
Спектры отдельных классов операторов
- Компактные операторы: спектр счетный, ноль является единственной возможной точкой накопления, любое ненулевое значение λ в спектре является собственным значением.
- Квазинильпотентные операторы: ограниченный оператор A: X → X является квазинильпотентным, если ‖An‖1/n → 0 как n → ∞.
- Самосопряженные операторы: спектральная теорема дает аналог теоремы диагонализации для нормальных конечномерных операторов.
-
Спектр реального оператора
- Определения резольвенты и спектра могут быть расширены на любой непрерывный линейный оператор T в банаховом пространстве X над полем R.
- Реальный спектр σR(T) определяется как совокупность всех λ ∈ R, для которых T−λI не может быть обратимым в вещественной алгебре ограниченных линейных операторов.
-
Спектр унитальной банаховой алгебры
- Спектр элемента x из B определяется как набор тех комплексных чисел λ, для которых λe − x не обратимо в B.