Оглавление
- 1 Спиновая структура
- 1.1 Определение спиновой структуры
- 1.2 Препятствия для существования спиновых структур
- 1.3 Спиновые структуры на векторных расслоениях
- 1.4 Классификация спиновых структур
- 1.5 Классификация спиновых структур
- 1.6 Примеры спиновых структур
- 1.7 Свойства спиновых структур
- 1.8 Спиновые группы и препятствия
- 1.9 Геометрическая интерпретация
- 1.10 Применение к физике элементарных частиц
- 1.11 Математическое описание спиноров в теории супергравитации и струн
- 1.12 Структура Липшица
- 1.13 Рекомендации
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Спиновая структура
Спиновая структура
-
Определение спиновой структуры
- Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии (M, g) позволяет определить спинорные расслоения.
- Спиновая структура определяется как эквивариантная подъемная сила ортонормированного каркасного пучка PSO(E) → M.
- Спиновые структуры эквивалентны, если существует спин (n)-эквивариантное отображение между ними.
-
Препятствия для существования спиновых структур
- Спиновые структуры существуют тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля–Уитни w2(M) ∈ H2(M, Z2) равен нулю.
- Если w2(M) = 0, то на множество классов изоморфизма спиновых структур на M свободно и транзитивно воздействует H1(M, Z2).
-
Спиновые структуры на векторных расслоениях
- Спинорное расслоение E → M является предписанием для последовательной привязки представления спина к каждой точке M.
- Спиновая структура для PSO(E) – это подъем PSO(E) к основному пучку PSpin(E) под действием спиновой группы Spin(n).
- В частном случае, когда E является касательным расслоением TM, M является спиновым многообразием.
-
Классификация спиновых структур
- Для ориентируемого векторного расслоения E → M спиновая структура существует тогда и только тогда, когда w2(E) исчезает.
- Число спиновых структур на E → M находится в биекции с H1(M, Z/2).
- Эти результаты могут быть доказаны с использованием спектральной последовательности для соответствующего принципа SO(n) – сверток PSO(E) → M.
-
Классификация спиновых структур
- Спиновые структуры соответствуют элементам H1(M, Z2)
- Пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H1(M, Z2)
- Спиновые структуры соответствуют бинарному выбору переключения листов в пучке SO(N)
-
Примеры спиновых структур
- Риманова поверхность рода g допускает 22g неэквивалентных спиновых структур
- Sn является спиновым для всех n ≠ 2
- Комплексная проективная плоскость CP2 не является спиновой
- Все компактные ориентируемые многообразия размерности 3 или меньше являются спиновыми
- Все многообразия Калаби–Яу являются спиновыми
-
Свойства спиновых структур
- Размерность спинового многообразия является целым числом и четным, если размерность равна 4 по модулю 8
- Род является рациональным инвариантом, но не целым числом
- Спиновая структура аналогична спиновой структуре на ориентированном римановом многообразии
-
Спиновые группы и препятствия
- Спиновая группа SpinC(n) является центральным расширением SO(n) на S1
- Спиновая структура существует, когда второй класс Штифеля–Уитни равен нулю
- Замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают спиновую структуру
-
Геометрическая интерпретация
- Спиновая структура имеет нецелой класс Черна, что означает нецелое произведение функций перехода
- Спиновое расслоение удовлетворяет условию тройного перекрытия, если произведение функций перехода равно 1 или -1
-
Применение к физике элементарных частиц
- Волновая функция фермиона является частью векторного расслоения, связанного со спиновой подъемной силой SO(N)
- Выбор спиновой структуры важен для определения волновой функции
- В квантовой теории поля заряженные спиноры не могут существовать в неспиновом пространстве
-
Математическое описание спиноров в теории супергравитации и струн
- Спиноры являются важной частью теории супергравитации и струн.
- Стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для этих теорий.
- Правильное понятие спиноральной структуры — “структура Липшица”.
-
Структура Липшица
- Структура Липшица является более общей и подходящей для теории супергравитации и струн.
- Она позволяет учитывать различные аспекты спиноров, такие как их ориентацию и симметрию.
-
Рекомендации
- Для дальнейшего изучения рекомендуется ознакомиться с работами Свена-С.
- Также предлагается краткое введение в ориентацию и спиновые структуры для студентов-математиков.