Оглавление
Сравнение топологий
-
Определение топологии
- Топология множества определяется как совокупность открытых подмножеств.
- Альтернативное определение: совокупность закрытых подмножеств.
- Оба определения эквивалентны.
-
Частичное упорядочение топологий
- Топологии τ1 и τ2 сравниваются по отношению ⊆.
- τ1 более грубая, если каждый элемент τ1 также является элементом τ2.
- τ2 более тонкая, если каждый элемент τ2 также является элементом τ1.
-
Примеры топологий
- Дискретная топология: все подмножества открыты.
- Тривиальная топология: только пустое множество и все пространство открыты.
- В функциональных пространствах и пространствах мер часто несколько топологий.
- Полярные топологии в двойной паре более тонкие, чем слабая топология, и более грубые, чем сильная топология.
- Топология Зарисского в комплексном векторном пространстве Cn строго слабее обычной.
-
Свойства топологий
- τ1 ⊆ τ2 эквивалентно непрерывности idX : (X, τ2) → (X, τ1).
- Непрерывное отображение f : X → Y остается непрерывным при изменении топологий.
- Открытый (закрытый) образ f : X → Y остается открытым (закрытым) при изменении топологий.
-
Сравнение топологий через базы окрестностей
- τ1 ⊆ τ2, если для всех x ∈ X каждое открытое множество U1 в B1(x) содержит открытое множество U2 в B2(x).
-
Решетка топологий
- Множество всех топологий на множестве X образует полную решетку.
- Любая совокупность топологий имеет границу и соединение.
- Объединение топологий не обязательно является топологией, а скорее топологией, сгенерированной объединением.
- Наибольший элемент решетки: дискретная топология.
- Наименьший элемент решетки: тривиальная топология.
- Решетка топологий на множестве X является дополненной решеткой.
- Если X имеет по меньшей мере три элемента, решетка топологий не является модульной и не является дистрибутивной.