Стохастическое управление

• Основы стохастического управления

  • Стохастическое управление учитывает неопределенность в наблюдениях и шуме. 
  • Байесовская вероятность используется для моделирования влияния шума на переменные состояния. 
  • Цель управления — минимизировать затраты, несмотря на неопределенность. 

• Эквивалентность определенности

  • Линейно-квадратичное гауссово управление является хорошо изученной формулировкой. 
  • В случае аддитивных возмущений оптимальное решение эквивалентно решению без возмущений. 
  • Нелинейные уравнения состояния, неквадратичные функции потерь и децентрализация управления нарушают свойство эквивалентности. 

• Дискретное время

  • В дискретное время управляющие переменные корректируются в каждый период времени. 
  • Уравнение Риккати может быть использовано для оптимизации управления в каждый период. 
  • В случае аддитивных возмущений и неквадратичной функции потерь решение может быть найдено с большими сложностями. 

• Пример задачи стохастического управления

  • Задача минимизации суммы ожидаемых значений нелинейной функции за периоды времени. 
  • Индукция в обратном времени используется для получения оптимального решения. 
  • Информация о параметрах матриц A и B включает ожидаемые значения и дисперсии. 

• Непрерывное время

  • В непрерывном времени контроллер знает состояние системы в каждый момент времени. 
  • Цель — максимизировать интеграл от вогнутой функции состояния на горизонте. 
  • Стохастическая модель прогнозирующего управления учитывает риск нарушения с помощью вероятностных неравенств. 

• Применение в финансах

  • Стохастическое управление широко используется в финансах для изучения оптимальных портфелей. 
  • Роберт Мертон и другие внесли значительный вклад в развитие финансовой литературы. 
  • В непрерывном времени уравнение Ито и динамическое программирование применяются для анализа финансовых процессов. 

• Рекомендации

  • Для дальнейшего изучения рекомендуется обратиться к указанным источникам.