Оглавление [Скрыть]
Строго выпуклое пространство
-
Определение строго выпуклого пространства
- Строго выпуклое пространство — это нормированное векторное пространство (X, || ||), для которого замкнутый единичный шар является строго выпуклым множеством.
- Это означает, что отрезок, соединяющий любые две точки на единичной сфере, пересекается с границей единичного шара только в этих точках.
-
Свойства строго выпуклых пространств
- Строгая выпуклость гарантирует единственность наилучшего приближения к элементу из выпуклого подпространства.
- Если пространство полно и равномерно выпукло, оно также рефлексивно по теореме Милмана–Петтиса.
-
Эквивалентные свойства
- Нормированное векторное пространство строго выпукло, если || x + y || < 2 для любых x ∈ y и || x || = || y || = 1.
- Нормированное векторное пространство строго выпукло, если || ax + (1 − α)y || < 1 для всех 0 < α < 1.
- Нормированное векторное пространство строго выпукло, если x ≠ 0 и y ≠ 0 и || x + y || = || x || + || y || подразумевают, что x = cy для некоторой константы c > 0.
- Нормированное векторное пространство строго выпукло, если модуль выпуклости δ для (X, || ||) удовлетворяет δ(2) = 1.