Оглавление
Сумма Lp
-
Определение Lp-суммы
- Lp-сумма семейства банаховых пространств (X_i)_{i∈I} превращает подмножество набора произведений членов семейства в самостоятельное банахово пространство.
- Конструкция основана на классических пространствах Lp.
-
Определение векторного пространства произведения
- P := ∏_{i∈I}X_i, где I может иметь сколь угодно большую мощность.
- Набор индексов I становится пространством измерения с счетной мерой μ.
- Каждый элемент (x_i)_{i∈I} ∈ P индуцирует функцию I → R, i ↦ ‖x_i‖.
-
Определение функции Φ
- Φ : P → R ∪ {∞}, (x_i)_{i∈I} ↦ ∫I‖x_i‖p dμ(i).
-
Определение Lp-суммы
- ⨁p ⨁ X_i := {(x_i)_{i∈I} ∈ P | Φ((x_i)_{i∈I}) < ∞}.
- Норма ‖(x_i)_{i∈I}‖ := (∫i∈I‖x_i‖p dμ(i))1/p.
-
Свойства Lp-суммы
- Топология, индуцируемая нормой, находится между топологией продукта и топологией коробки.
- Сумма Lp не является ни продуктом, ни побочным продуктом, если бесконечно много из X_i содержат ненулевой элемент.