Теорема об индексе Атии–Сингера
-
Теорема об индексе Атии–Сингера
- Утверждает, что аналитический индекс эллиптического дифференциального оператора равен топологическому индексу.
- Включает множество других теорем, таких как теорема Черна–Гаусса–Бонне и теорема Римана–Роха.
- Имеет приложения к теоретической физике.
-
История
- Задача об индексе была поставлена Израэлем Гельфандом.
- Теорема была объявлена в 1963 году, но доказательство не было опубликовано.
- В 1965 году Сергей Новиков опубликовал результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина.
- В 1971 году Айседор Сингер предложила программу для будущих расширений теории индексов.
- В 1983 году Эзра Гетцлер дал краткое доказательство теоремы о локальном индексе.
- В 1984 году Николае Телеман установил теорему об индексах для топологических многообразий.
-
Символ дифференциального оператора
- Символ дифференциального оператора определяется как функция от 2k переменных.
- Оператор называется эллиптическим, если символ отличен от нуля при ненулевых значениях y.
- Символ почти обратим, что связано с почти обратимостью оператора.
-
Аналитический индекс
- Эллиптический оператор имеет псевдообратную форму и является оператором Фредгольма.
- Аналитический индекс определяется как разница между размерностью ядра и второго ядра.
- Пример: оператор d/dx — λ имеет индекс 0 на окружности.
-
Топологический индекс
- Топологический индекс задается через класс смешанных когомологий.
- Формула включает класс Тодда и изоморфизм Тома.
- В некоторых ситуациях можно упростить формулу для вычислительных целей.
-
Определение топологического индекса
- Топологический индекс определяется как изображение операции в евклидовом пространстве.
- Индекс элемента K (TX) определяется как изображение в Z под картой.
- Индекс эллиптического дифференциального оператора обычно легко поддается оценке.
-
Теорема об индексе Атии–Сингера
- Теорема утверждает, что топологический индекс является интегральным.
- Индекс обращается в нуль, если оператор самосопряжен или многообразие имеет нечетную размерность.
-
Связь с Гротендиком–Риманом–Рохом
- Теорема Гротендика–Римана–Роха является аналогом теоремы об индексе для вещественных многообразий.
- Коммутативная диаграмма связывает топологический индекс с группами когомологий и алгебраическими векторными расслоениями.
-
Расширения теоремы об индексе
- Теорема об индексе Телемана распространяет теорему на комбинаторные и липшицевы многообразия.
- Теорема об индексе Конна–Дональдсона–Салливана–Телемана основана на сигнатурном операторе на квазиконформных многообразиях.
-
Другие расширения
- Теорема применима к эллиптическим псевдодифференциальным операторам.
- Эллиптический комплекс может быть сведен к эллиптическому оператору.
- Для многообразий с границей требуются локальные или глобальные граничные условия.
- Семейство эллиптических операторов параметризуется пространством Y, индекс находится в K-теории Y.
- Групповое действие группы G на многообразие X приводит к эквивариантной K-теории.
- Теорема об индексе L2 распространяет теорему на некомпактные многообразия с дискретной группой.
-
Примеры
- Теорема Черна-Гаусса-Бонне связывает индекс с внешними степенями кокасательного расслоения.
-
Аналитический и топологический индексы
- Аналитический индекс D является характеристикой Эйлера χ(M) из когомологий Ходжа для M.
- Топологический индекс — это интеграл от класса Эйлера по многообразию.
-
Теорема Черна–Гаусса–Бонне
- Формула индекса для оператора дает теорему Черна–Гаусса–Бонне.
- Корни Черна x(E ⊗ C) связаны с классом Эйлера e(TM).
-
Теорема Хирцебруха–Римана–Роха
- Применяется к комплексным многообразиям с голоморфными векторными расслоениями.
- Аналитический индекс комплекса является голоморфной эйлеровой характеристикой V.
-
Сигнатурная теорема Хирцебруха
- Сигнатура компактного ориентированного многообразия X задается родом L этого многообразия.
- Аналитический индекс оператора D является сигнатурой многообразия X.
-
 род и теорема Рохлина
- Род Â для спиновых многообразий является индексом оператора Дирака.
- В измерениях 4 по модулю 8 род Â четный из-за кватернионной структуры ядра и смежного ядра оператора Дирака.
-
Методы доказательства
- Псевдодифференциальные операторы используются вместо дифференциальных.
- Кобордизм и K-теория также применяются для доказательства теоремы об индексе.
- Тепловое уравнение используется для доказательства теоремы об индексе Атии–Сингера.
-
Теорема Висмута
- Висмут доказывает теорему для эллиптических комплексов с помощью вероятностных методов.
- Перепечатано в 1-м томе его собрания сочинений, стр. 65-75, ISBN 0-387-13619-3.
-
Предположение Гельфанда
- На странице 120 Гельфанд предполагает, что индекс эллиптического оператора должен быть выражен в терминах топологических данных.
-
Онлайн-учебник
- Бесплатный онлайн-учебник доказывает теорему Атии-Сингера с помощью уравнения теплопроводности.
- Описывает первоначальное доказательство теоремы, которое Атия и Сингер не публиковали.
-
Личные аккаунты
- Ссылки на личные аккаунты Атии, Ботта, Хирцебруха и Сингера.
-
Внешние ссылки
- Ссылки на теорию и презентацию в формате Pdf.
- Ссылки на интервью с R. R. Сили и другими о первых днях теории индексов и псевдодифференцирующих операторах.