Теорема Атьи–Зингера об индексе

Теорема об индексе Атии–Сингера Теорема об индексе Атии–Сингера Утверждает, что аналитический индекс эллиптического дифференциального оператора равен топологическому индексу.   Включает множество […]

Теорема об индексе Атии–Сингера

  • Теорема об индексе Атии–Сингера

    • Утверждает, что аналитический индекс эллиптического дифференциального оператора равен топологическому индексу.  
    • Включает множество других теорем, таких как теорема Черна–Гаусса–Бонне и теорема Римана–Роха.  
    • Имеет приложения к теоретической физике.  
  • История

    • Задача об индексе была поставлена Израэлем Гельфандом.  
    • Теорема была объявлена в 1963 году, но доказательство не было опубликовано.  
    • В 1965 году Сергей Новиков опубликовал результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина.  
    • В 1971 году Айседор Сингер предложила программу для будущих расширений теории индексов.  
    • В 1983 году Эзра Гетцлер дал краткое доказательство теоремы о локальном индексе.  
    • В 1984 году Николае Телеман установил теорему об индексах для топологических многообразий.  
  • Символ дифференциального оператора

    • Символ дифференциального оператора определяется как функция от 2k переменных.  
    • Оператор называется эллиптическим, если символ отличен от нуля при ненулевых значениях y.  
    • Символ почти обратим, что связано с почти обратимостью оператора.  
  • Аналитический индекс

    • Эллиптический оператор имеет псевдообратную форму и является оператором Фредгольма.  
    • Аналитический индекс определяется как разница между размерностью ядра и второго ядра.  
    • Пример: оператор d/dx — λ имеет индекс 0 на окружности.  
  • Топологический индекс

    • Топологический индекс задается через класс смешанных когомологий.  
    • Формула включает класс Тодда и изоморфизм Тома.  
    • В некоторых ситуациях можно упростить формулу для вычислительных целей.  
  • Определение топологического индекса

    • Топологический индекс определяется как изображение операции в евклидовом пространстве.  
    • Индекс элемента K (TX) определяется как изображение в Z под картой.  
    • Индекс эллиптического дифференциального оператора обычно легко поддается оценке.  
  • Теорема об индексе Атии–Сингера

    • Теорема утверждает, что топологический индекс является интегральным.  
    • Индекс обращается в нуль, если оператор самосопряжен или многообразие имеет нечетную размерность.  
  • Связь с Гротендиком–Риманом–Рохом

    • Теорема Гротендика–Римана–Роха является аналогом теоремы об индексе для вещественных многообразий.  
    • Коммутативная диаграмма связывает топологический индекс с группами когомологий и алгебраическими векторными расслоениями.  
  • Расширения теоремы об индексе

    • Теорема об индексе Телемана распространяет теорему на комбинаторные и липшицевы многообразия.  
    • Теорема об индексе Конна–Дональдсона–Салливана–Телемана основана на сигнатурном операторе на квазиконформных многообразиях.  
  • Другие расширения

    • Теорема применима к эллиптическим псевдодифференциальным операторам.  
    • Эллиптический комплекс может быть сведен к эллиптическому оператору.  
    • Для многообразий с границей требуются локальные или глобальные граничные условия.  
    • Семейство эллиптических операторов параметризуется пространством Y, индекс находится в K-теории Y.  
    • Групповое действие группы G на многообразие X приводит к эквивариантной K-теории.  
    • Теорема об индексе L2 распространяет теорему на некомпактные многообразия с дискретной группой.  
  • Примеры

    • Теорема Черна-Гаусса-Бонне связывает индекс с внешними степенями кокасательного расслоения.  
  • Аналитический и топологический индексы

    • Аналитический индекс D является характеристикой Эйлера χ(M) из когомологий Ходжа для M.  
    • Топологический индекс — это интеграл от класса Эйлера по многообразию.  
  • Теорема Черна–Гаусса–Бонне

    • Формула индекса для оператора дает теорему Черна–Гаусса–Бонне.  
    • Корни Черна x(E ⊗ C) связаны с классом Эйлера e(TM).  
  • Теорема Хирцебруха–Римана–Роха

    • Применяется к комплексным многообразиям с голоморфными векторными расслоениями.  
    • Аналитический индекс комплекса является голоморфной эйлеровой характеристикой V.  
  • Сигнатурная теорема Хирцебруха

    • Сигнатура компактного ориентированного многообразия X задается родом L этого многообразия.  
    • Аналитический индекс оператора D является сигнатурой многообразия X.  
  • Â род и теорема Рохлина

    • Род Â для спиновых многообразий является индексом оператора Дирака.  
    • В измерениях 4 по модулю 8 род Â четный из-за кватернионной структуры ядра и смежного ядра оператора Дирака.  
  • Методы доказательства

    • Псевдодифференциальные операторы используются вместо дифференциальных.  
    • Кобордизм и K-теория также применяются для доказательства теоремы об индексе.  
    • Тепловое уравнение используется для доказательства теоремы об индексе Атии–Сингера.  
  • Теорема Висмута

    • Висмут доказывает теорему для эллиптических комплексов с помощью вероятностных методов.  
    • Перепечатано в 1-м томе его собрания сочинений, стр. 65-75, ISBN 0-387-13619-3.  
  • Предположение Гельфанда

    • На странице 120 Гельфанд предполагает, что индекс эллиптического оператора должен быть выражен в терминах топологических данных.  
  • Онлайн-учебник

    • Бесплатный онлайн-учебник доказывает теорему Атии-Сингера с помощью уравнения теплопроводности.  
    • Описывает первоначальное доказательство теоремы, которое Атия и Сингер не публиковали.  
  • Личные аккаунты

    • Ссылки на личные аккаунты Атии, Ботта, Хирцебруха и Сингера.  
  • Внешние ссылки

    • Ссылки на теорию и презентацию в формате Pdf.  
    • Ссылки на интервью с R. R. Сили и другими о первых днях теории индексов и псевдодифференцирующих операторах.  

Полный текст статьи:

Теорема Атьи–Зингера об индексе

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх