Единичная теорема Дирихле

• Определение и свойства единиц измерения

  • Единицы измерения — это корни из единицы, которые образуют абелеву группу. 
  • Группа единиц измерения имеет ранг, который равен нулю для числовых полей и 1 для реальных квадратичных полей. 
  • Размер единиц измерения измеряется регулятором, который может быть эффективно вычислен для числовых полей с небольшим числом элементов. 

• Кручение в единичной группе

  • Кручение в единичной группе — это множество корней из единицы, которые образуют циклическую группу. 
  • Для числовых полей с вещественными вложениями кручение должно быть {1,-1}. 

• Теорема о единицах

  • Теорема о единицах утверждает, что если K — числовое поле и O — целое число, то ранг группы единиц измерения равен рангу группы целых чисел в K. 
  • Существует обобщение теоремы для описания структуры группы S-единиц. 

• Регуляторы полей алгебраических чисел

  • Регулятор поля алгебраических чисел — это число, которое измеряет «плотность» блоков в группе единиц измерения. 
  • Регулятор имеет геометрическую интерпретацию и может быть вычислен для полей алгебраических чисел с помощью компьютерной алгебры. 

• Примеры регуляторов

  • Регулятор для воображаемых квадратичных полей и рациональных целых чисел равен 1. 
  • Регулятор реального квадратичного поля равен логарифму его основной единицы. 
  • Регулятор циклического кубического поля равен приблизительно 0,5255. 

• Высшие регуляторы и гипотезы Старка

  • Высшие регуляторы — это конструкции для функций в алгебраических K-группах с индексом n > 1. 
  • Регулятор Старка — это определитель логарифмов единиц измерения, связанный с любым представлением Артина. 

• p-адический регулятор

  • p-адический регулятор — это определитель матрицы, образованной p-адическими логарифмами элементов группы единиц измерения. 
  • Гипотеза Леопольдта утверждает, что p-адический регулятор отличен от нуля.