Теорема о разложении Дуба
-
Теорема декомпозиции Дуба
- Теорема декомпозиции Дуба утверждает, что каждый адаптированный и интегрируемый стохастический процесс можно разложить на мартингал и предсказуемый процесс.
- Теорема доказана Джозефом Л. Дубом и названа в его честь.
-
Условия теоремы
- Процесс X должен быть адаптированным и интегрируемым.
- Процесс X должен иметь конечное математическое ожидание.
- Процесс X должен быть измерим по фильтрации F.
-
Доказательство существования
- Определяются процессы A и M для каждого n ∈ I.
- A суммирует ожидаемые приращения X, M суммирует неожиданности.
- A и M измеримы и интегрируемы.
-
Доказательство уникальности
- Процесс Y = M − M’ является мартингейлом и предсказуемым.
- Y почти наверняка равен нулю, что доказывает уникальность разложения.
-
Эквивалентность субмартингалов и супермартингалов
- Субмартингал имеет декомпозицию в мартингал и увеличивающийся предсказуемый процесс.
- Супермартингал имеет декомпозицию в мартингал и уменьшающийся предсказуемый процесс.
-
Пример
- Последовательность независимых случайных величин имеет декомпозицию в мартингал и случайное блуждание.
- Симметричные случайные величины могут иметь неограниченные мартингал и предсказуемый процесс.
-
Приложение в финансовых моделях
- Теорема используется для определения оптимального времени исполнения американского опциона.
- Огибающая Снелла используется для хеджирования опциона.
-
Обобщение
- Теорема может быть обобщена на пространства с σ-конечной мерой.