Оглавление
Теорема Фальтингса
-
Теорема Фальтингса
- Кривая рода больше 1 над полем рациональных чисел имеет только конечное число рациональных точек.
- Гипотеза была выдвинута Луисом Морделлом в 1922 году и доказана Гердом Фалтингсом в 1983 году.
- Позже гипотеза была обобщена на любое числовое поле.
-
Фон
- Кривая C рода g над Q имеет множество рациональных точек, определяемое в зависимости от g.
- При g = 0 точек либо нет, либо бесконечно много.
- При g = 1 кривая C является эллиптической, и её рациональные точки образуют конечно порожденную абелеву группу.
- При g > 1 кривая C имеет только конечное число рациональных точек.
-
Доказательства
- Игорь Шафаревич предположил конечность классов изоморфизма абелевых многообразий.
- Алексей Паршин показал, что гипотеза Шафаревича подразумевает гипотезу Морделла.
- Герд Фалтингс доказал гипотезу Шафаревича, используя редукцию к гипотезе Тейта и алгебраическую геометрию.
-
Более поздние доказательства
- Пол Войта дал доказательство, основанное на диофантовом приближении.
- Энрико Бомбьери нашел более элементарный вариант доказательства Войты.
- Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш представили доказательство, основанное на p-адической теории Ходжа.
-
Последствия
- Теорема Фальтингса доказала гипотезу Морделла и теорему изогении.
- Пример применения: слабая форма последней теоремы Ферма.
-
Обобщения
- Теорему Фальтингса можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой с подгруппой абелева многообразия.
- Гипотеза Морделла-Ланга доказана Маккуилланом в 1995 году.
- Гипотеза Бомбьери-Ланга утверждает, что псевдоканоническое многообразие над числовым полем не имеет дремучих точек.
- Гипотеза Морделла для функциональных полей доказана Маниным и Грауэртом, с исправлением Коулмана.