Теорема о горном перевале
-
Теорема о горном перевале
- Теорема о горном перевале из вариационного анализа утверждает существование седловой точки при определенных условиях.
- Эта теорема отличается от других теорем о существовании экстремумов, особенно в отношении седловых точек.
-
Допущения теоремы
- Функционал I должен быть непрерывным, дифференцируемым и удовлетворять условию компактности Пале-Смейла.
- Должны существовать точки 0 и v с определенными свойствами, где I[0] = 0, I[v] ≤ 0 и I[u] ≥ a при ‖u‖ = r.
-
Визуализация теоремы
- Название теоремы связано с интуицией о горном перевале, где I описывает высоту.
- В ландшафте есть две низменности и горная гряда, где высота над уровнем моря высока.
- Тропа g соединяет начало координат с точкой v, и для ее прохождения необходимо перевалить через горы.
- Критическая точка должна находиться на тропе, проходящей через горы на наименьшей высоте.
-
Доказательство теоремы
- Доказательство приведено в книге Эванса, раздел 8.5.
- В более слабой формулировке теоремы используются пространства банаховых функций и условия на производную Gateaux.
- Доказательство приведено в работе Обена и Экеланда, раздел 5.5.
-
Рекомендации
- Для дальнейшего чтения предлагается обратиться к указанным источникам.